问题

设 $z=z(x,y)$ 是由方程 $xy+z=yf(y+\frac{z}{x})$ 所确定的函数, 其中 $f$ 具有连续导数, 证明:
\[
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy.
\]