问题及解答

\[
f(x,y)=\begin{cases}
xy\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\\
0, & (x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]

由于

\[
0\leqslant\biggl|xy\sin\frac{1}{x^2+y^2}\biggr|\leqslant|xy|\leqslant\frac{x^2+y^2}{2},
\]

故

\[
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}xy\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0.
\]

即函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续.

在 $(0,0)$ 处的偏导数:

\[
f'_x(0,0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot 0\sin\frac{1}{x^2+0^2}-0}{x}=0.
\]

\[
f'_y(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{0\cdot y\sin\frac{1}{0^2+y^2}-0}{y}=0.
\]

故 $f(x,y)$ 在原点的偏导数 $f'_x(0,0)$, $f'_y(0,0)$ 都存在, 且都是 $0$.