问题及解答

用拉格朗日乘数法求下列条件极值的可能极值点.

(2)  目标函数 $u=x^2+y^2+z^2$, 约束条件 $z=x^2+y^2$, $x+y+z=1$.

问题为

\[
\begin{aligned}
\max/\min\quad u=x^2+y^2+z^2\\
z=x^2+y^2,\\
x+y+z=1.
\end{aligned}
\]

令 

\[
L(x,y,z,\lambda,\mu)=x^2+y^2+z^2+\lambda(x^2+y^2-z)+\mu(x+y+z-1),
\]

求 $L(x,y,z,\lambda,\mu)$ 的驻点, 令

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial x}&=2x+\lambda\cdot 2x+\mu=0,\\
\frac{\partial L}{\partial y}&=2y+\lambda\cdot 2y+\mu=0,\\
\frac{\partial L}{\partial z}&=2z-\lambda+\mu=0,\\
\frac{\partial L}{\partial\lambda}&=x^2+y^2-z=0,\\
\frac{\partial L}{\partial\mu}&=x+y+z-1=0.
\end{aligned}
\]

得

\[
\begin{cases}
2(1+\lambda)x&=-\mu,\qquad(1)\\
2(1+\lambda)y&=-\mu,\qquad(2)\\
2z&=\lambda-\mu,\qquad(3)\\
z&=x^2+y^2,\qquad(4)\\
x+y+z&=1,\qquad(5).
\end{cases}
\]

若 $\lambda=-1$, 则由 (1) 或 (2) 知 $\mu=0$, 从而代入 (3) 得 $z=-\dfrac{1}{2}$. 但是 (4) 限制 $z$ 是非负的, 矛盾. 因此 $\lambda\neq -1$.

由 (1) 和 (2), $(1+\lambda)x=(1+\lambda)y$, 因 $\lambda\neq -1$, 从而 $x=y$. 且

\[
x=y=-\frac{\mu}{2(1+\lambda)}.
\]

由 (4),  $z=2x^2$, 再代入 (5), 得

\[
2x^2+2x=1.
\]

解得 $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$, $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$. 于是, 我们有

\[
\begin{cases}
x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\\
y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\\
z=2x^2=2-\sqrt{3},\\
\lambda-\mu=2z=4-2\sqrt{3},\\
-\frac{\mu}{2(1+\lambda)}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},
\end{cases}\qquad
\begin{cases}
x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},\\
y=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2},\\
z=2x^2=2+\sqrt{3},\\
\lambda-\mu=2z=4+2\sqrt{3},\\
-\frac{\mu}{2(1+\lambda)}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},
\end{cases}
\]

解得

\[
\begin{cases}
x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\\
y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\\
z=2-\sqrt{3},\\
\lambda=\frac{5\sqrt{3}}{3}-3,\\
\mu=\frac{11\sqrt{3}}{3}-7,
\end{cases}\qquad
\begin{cases}
x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},\\
y=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},\\
z=2+\sqrt{3},\\
\lambda=-\frac{5\sqrt{3}}{3}-3,\\
\mu=-\frac{11\sqrt{3}}{3}-7.
\end{cases}
\]

因此, 原目标函数在约束条件下的极值点可能是

\[
(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2},2-\sqrt{3})\qquad (\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}, 2+\sqrt{3}).
\]