问题及解答

$\Gamma$-函数的定义是:

当 $x>0$ 时,

\[\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\]

证明该积分当 $x>0$ 时收敛.

若不限定 $x$, 则称上式右端的积分为第二类欧拉积分.令 $t=s^2$, 则 $\Gamma$-函数又可表示为

\[\Gamma(x)=2\int_{0}^{+\infty}s^{2x-1}e^{-s^2}ds\]

请证明 $\Gamma$-函数的下列性质.

1. $\Gamma(1)=1$
2. $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, $\forall\ x > 0$.
3. $\Gamma(x)\Gamma(y)=\Gamma(x+y)B(x,y)$, 其中 $B(x,y)$ 是指 Beta 函数 B-函数(也称为第一类欧拉积分). 这个关系式也记为
   \[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
   有些书上称之为欧拉定理.
4. $\Gamma$-函数定义域可扩充到不含负整数的负数域上. 希望能继续满足递推公式 2. 例如, 对 $-1 < x < 0$, 定义
   \[\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x},\]
   这里 $x+1 > 0$, 因此定义合理. 类似的, 因为 $\Gamma(x)$ 在 $(-1,0)$ 上已定以好, 所以对 $-2 < x < -1$, 仍可使用上式来定义 $\Gamma(x)$. 这样一直定义下去, $\Gamma(x)$ 就在 $\{x<0\mid x\not\in\mathbb{Z}^{-}\}$ 上定义好了.
   证明:
   \[\lim_{x\rightarrow 0}\Gamma(x)=+\infty\]
   由此, 可得
   \[\lim_{x\rightarrow -n}\Gamma(x)=+\infty,\quad\forall\ n=1,2,3,\ldots\]
5. 当 $x\in(0,1)$ 时,
   \[\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}.\]
   这个称为余元公式. 事实上, 上式对于任意非整数的 $x$ 都成立. 例如对于 $x\in (-1,0)$, 有
   \[
   \begin{split}
   \Gamma(x)\Gamma(1-x)&=\frac{\Gamma(x+1)}{x}\Gamma(-x+1)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}\cdot(-x)\Gamma(-x)=-\Gamma(x+1)\Gamma(-x)\\
   &=-\Gamma(-x)\Gamma(1-(-x))=-\frac{\pi}{\sin(\pi(-x))}\\
   &=\frac{\pi}{\sin(\pi x)}
   \end{split}
   \]
6. 证明 $\Gamma(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是光滑的. 即有各阶连续导函数.
7. 
   \[\sqrt{\pi}\Gamma(2z)=2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2}).\]
8. 
   \[\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.\]
9. 根据 (7) 和 (8), 推出
   \[(2n)!!\Gamma(2n)=(2n-1)!!\cdot 2^{2n-1}\Gamma(n+1)\Gamma(n).\]

References

杨奇林 编著 《数学物理方程与特殊函数》(第2版) 附录A.
Б.П. 吉米多维奇 (Б.П. ДЕМИДОВИЧ) 数学分析习题集题解(五)

\[
\Gamma(1)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt=-e^{-t}\Big|_{0}^{+\infty}=1.
\]

\[
\begin{split}
\Gamma(x+1)&=\int_{0}^{+\infty}t^x e^{-t}dt=-\int_{0}^{+\infty}t^xde^{-t}\\
&=-t^x e^{-t}\Big|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt^x\\
&=x\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt\\
&=x\Gamma(x),
\end{split}
\]

这里第四个等号成立是因为, 对于 $x > 0$,

\[\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^x}{e^t}=0.\]

根据这个递推关系, 对于 $x>0$ 且 $x$ 不是正整数时, 可得

\[
\begin{split}
\Gamma(x+1)&=x\Gamma(x)=x\Gamma\bigl((x-1)+1\bigr)\\
&=x(x-1)\Gamma(x-1)\\
&=\cdots\\
&=x(x-1)(x-2)\cdots(x-[x])\Gamma(x-[x])
\end{split}
\]

对于正整数 $n$, 有

\[\Gamma(n+1)=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\Gamma(1)=n!\]

\[\Gamma(x)=2\int_{0}^{+\infty}e^{-s^2}s^{2x-1}ds,\quad\Gamma(y)=2\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}t^{2y-1}dt\]

则

\[\Gamma(x)\Gamma(y)=4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}e^{-(s^2+t^2)}s^{2x-1}t^{2y-1}dsdt.\]

令 $s=\rho\theta$, $t=\rho\theta$, $\rho\in[0,+\infty)$, $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$, 则上式变为

\[
\begin{split}
\Gamma(x)\Gamma(y)&=4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\rho^2}\cdot(\rho\cos\theta)^{2x-1}(\rho\sin\theta)^{2y-1}\rho d\rho d\theta\\
&=4\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\rho^2}\rho^{2(x+y)-1}\cos^{2x-1}\theta\sin^{2y-1}\theta d\theta d\rho\\
&=2\int_{0}^{+\infty}e^{-\rho^2}\rho^{2(x+y)-1}d\rho\cdot2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2y-1}\theta\cos^{2x-1}\theta d\theta\\
&=\Gamma(x+y)\cdot B(y,x)\\
&=\Gamma(x+y)\cdot B(x,y)
\end{split}
\]

即

\[B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.\]