对于足够大的 $n$, 有

\[n!=n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}(1+O(\frac{1}{n}))\]

一个简易但不是严谨的解释是这样的. 通常对于乘积, 分析起来往往先将之转化为和比较方便.

\[
\log n!=\sum_{k=1}^{n}\log k\approx\int_{1}^{n}\log tdt=(t\log t-t)|_{1}^{n}=n\log n-n+1
\]

因此

\[\log n!\approx n\log n -n\]

或者

\[n!\approx e^{n\log n-n}=\frac{n^n}{e^n}\]

References

Steven J. Miller and Ramin Takloo-Bighash, An invitation to modern number theory.

\[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}\]

它可以改写为

\[\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1})\]

或者

\[\frac{\pi}{4}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{2n(2n+2)}{(2n+1)^2}\]

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n}\]

公式的获得来源于计算积分(问题43)

\[
I_m=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^m xdx,\quad J_m=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m xdx,\quad (m\in\mathbb{Z}^+)
\]

这两个积分的计算要使用递推公式.

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社.

Remark

有时, Wallis 不等式(问题711)可能更有用.

Ex. 由 Wallis 公式, 证明

\[
\frac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}.
\]

(1) 柱坐标变换

\[\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z\end{cases}\]

\[J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)}=\begin{vmatrix}x'_\rho & x'_\theta & x'_z\\ y'_\rho & y'_\theta & y'_z\\ z'_\rho & z'_\theta & z'_z\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta & -\rho\sin\theta & 0\\ \sin\theta &\rho\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\rho\]

如果令 $x=\rho\sin\theta$, $y=\rho\cos\theta$, 则算得的 $J=-\rho$.

(2) 球坐标变换

\[\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\end{cases}\]

其中 $\varphi$ 是向量 $(x,y,z)$ 与 $z$ 轴正方向的夹角.

\[J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=\begin{vmatrix}x'_r & x'_\varphi & x'_\theta\\ y'_r & y'_\varphi & y'_\theta\\z'_r & z'_\varphi & z'_\theta \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta\\ \sin\varphi\sin\theta &r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta\\ \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0\end{vmatrix}=r^2\sin\varphi\]

若如下令

\[\begin{cases}x=r\cos\varphi\cos\theta\\ y=r\cos\varphi\sin\theta\\ z=r\sin\varphi\end{cases}\]

其中 $\varphi$ 是向量 $(x,y,z)$ 与 $xoy$ 平面的夹角.

\[J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=\begin{vmatrix}x'_r & x'_\varphi & x'_\theta\\ y'_r & y'_\varphi & y'_\theta\\z'_r & z'_\varphi & z'_\theta \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\cos\theta & -r\cos\varphi\sin\theta\\ \cos\varphi\sin\theta &-r\sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\cos\theta\\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0\end{vmatrix}=-r^2\cos\varphi\]

设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续, 且

\[\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=1,\]

试判断 $f(0,0)$ 是否为函数 $f(x,y)$ 的极值, 为什么?

扬大往年09/10级高等数学试卷

假设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界开子集, 其边界 $\Gamma$ 是分段光滑的. 设 $u,v\in C^1(\bar{\Omega})$. 则有下面的分部积分公式.

\[\int_\Omega\frac{\partial u}{\partial x_i}vd\Omega=\int_\Gamma uv\nu_i d\Gamma-\int_\Omega u\frac{\partial v}{\partial x_i}d\Omega,\]

其中 $\hat{\nu}=(\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n)$ 是 $\Gamma$ 的外法向量.

更一般的, 对于向量值函数 $\vec{V}=(v_1,v_2,\ldots,v_n)$, 有

\[\int_\Omega\nabla u\cdot\vec{V}d\Omega=\int_\Gamma(u\vec{V})\cdot\hat{\nu}d\Gamma-\int_\Omega u\nabla\cdot\vec{V}d\Omega.\]

注: (1) 令 $u\equiv 1$, 则得到 散度定理.

\[\int_\Omega\nabla\cdot\vec{V}d\Omega=\int_\Gamma\vec{V}\cdot\hat{\nu}d\Gamma,\]

即

\[\int_\Omega\text{div}(\vec{V})d\Omega=\int_\Gamma \vec{V}\cdot\hat{\nu}d\Gamma.\]

这里 $\text{div}(\vec{V})=\nabla\cdot\vec{V}$. 黎曼几何中流形 $M$ 上向量场 $X$ 的散度定义为

\[\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X)\]

(2) 若令 $\vec{V}$ 是一梯度场, 即存在函数 $v\in C^2(\bar{\Omega})$, 使得 $\vec{V}=\nabla v$, 则有

\[\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v d\Omega=\int_\Gamma(u\nabla v)\cdot\hat{\nu}d\Gamma-\int_\Omega u\Delta v d\Omega.\]

此即 Green 第一恒等式.

注:

(1) 有时也记 $\hat{\nu}=\vec{n}$. 或有时干脆写成 $n$. (这里 $n$ 不是指正整数, 而是 $\Gamma$ 的外法向量. 怀疑将 nu 简写为 n 了.)

(2) 由于 $(u\nabla v)\cdot\hat{\nu}=u(\nabla v\cdot\hat{\nu})=u\dfrac{\partial v}{\partial\hat{\nu}}=u\dfrac{\partial v}{\partial\vec{n}}$, 以及 $\Gamma=\partial\Omega$, 故 Green 第一恒等式也写为

\[\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\mathrm{d}\Omega=\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}\partial\Omega-\int_\Omega u\Delta v\mathrm{d}\Omega.\qquad(*)\]

由于 $\Gamma=\partial\Omega$ 上的面积元写成 $\mathrm{d}\partial\Omega$ 不好看, 因此记之为 $\mathrm{d}S$. 既然面积元写为 $\mathrm{d}S$, 体积元为何不写为 $\mathrm{d}V$. 如此, 得到下面常见的形式:

\[\int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial n}\mathrm{d}S-\int_\Omega u\Delta v\mathrm{d}V.\]

(3) 但是有些地方(书或其他资料)将 $\Delta v$ 写成 $\nabla^2 v$, (事实上应写为 $\Delta v=\mathrm{tr}\nabla^2 v$,  $\mathrm{tr}$ 表示对矩阵 $\nabla^2 v=\biggl(\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_j\partial x_i}\biggr)_{n\times n}$ 取迹, 即对角线之和. 当然这里 $\nabla^2 v$ 也是指 $\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i^2}$.) 并将 $\Omega$ 上的积分写到一起, 从而又写为

\[\int_\Omega\Bigl(\nabla u\cdot\nabla v+u\nabla^2 v\Bigr)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial n}\mathrm{d}S.\qquad(1)\]

(4) 有些书或资料将 $\dfrac{\partial v}{\partial\vec{n}}$ 写为 $D_{\vec{n}}v$, 不要奇怪. 这是沿着 $\vec{n}$ 方向的方向导数. 方向导数在黎曼几何中被推广为联络, 也使用 $D$ 这个记号, 只不过下标是向量场.

(5) 在Green 第一恒等式中, 若令 $u=1$, (或等价地, 在散度定理中, 若令 $\vec{V}=\nabla v$) 则得

\[
\int_{\Omega}0\cdot\nabla v\mathrm{d}\Omega=\int_{\Gamma}(\nabla v)\cdot\hat{\nu}\mathrm{d}\Gamma-\int_{\partial\Omega}\Delta v\mathrm{d}\Omega,
\]

即

\[
\begin{split}
&\int_{\partial\Omega}\Delta v\mathrm{d}\Omega=\int_{\Gamma}(\nabla v)\cdot\hat{\nu}\mathrm{d}\Gamma\\
\Leftrightarrow\ &\int_{\partial\Omega}\Delta v\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}\frac{\partial v}{\partial\vec{n}}\mathrm{d}S.
\end{split}
\]

Green 第二恒等式

根据 (1), 交换 $u$ 和 $v$ 的角色, 得到

\[\int_\Omega\Bigl(\nabla v\cdot\nabla u+v\nabla^2 u\Bigr)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}v\frac{\partial u}{\partial n}\mathrm{d}S.\qquad(2)\]

两式相减, 得

\[
\int_{\Omega}\Bigl(u\nabla^2 v-v\nabla^2 u\Bigr)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}\Bigl(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\Bigr)\mathrm{d}S.
\]

当然, 我们更喜欢写成

\[
\int_{\Omega}\Bigl(u\Delta v-v\Delta u\Bigr)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}\Bigl(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u\Bigr)\mathrm{d}S.
\]

注: 由散度定理也可以直接推出 Green 第二恒等式. 只需在散度定理中令 $\vec{V}=u\nabla v-v\nabla u$, 计算即可推出.

References

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

https://newikis.com/ja/グリーンの恒等式

https://www.math.ust.hk/~maklchan/ma4052/w12.pdf

证明:\[\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{1-2\sin^2 t}{t^2}dt=+\infty.\]

证明: \[ \begin{split} \int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{1-2\sin^2 t}{t^2}dt&=\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{\cos 2t}{t^2}dt\\ &=-\int_{\frac{1}{x}}^{1}\cos(2t)d\frac{1}{t}\\ &=-\biggl[\frac{\cos 2t}{t}\biggr|_{\frac{1}{x}}^{1}-\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{1}{t}d\cos 2t\biggr]\\ &=-2\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{\sin 2t}{t}dt+x\cos\frac{2}{x}-\cos 2\\ &=-2\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{\sin 2t}{2t}d2t+x\cos\frac{2}{x}-\cos 2\\ &=-2\int_{\frac{2}{x}}^{2}\frac{\sin u}{u}du+x\cos\frac{2}{x}-\cos 2 \end{split} \]

注意到 Dirichlet 积分

\[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}, \] 故\[\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{\frac{1}{x}}^{1}\frac{1-2\sin^2 t}{t^2}dt=\lim_{x\rightarrow+\infty}x\cos\frac{2}{x}=+\infty.\]

求