设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续, 且
\[\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=1,\]
试判断 $f(0,0)$ 是否为函数 $f(x,y)$ 的极值, 为什么?
1
由条件 $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$. 又根据第二个条件,
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(f(x,y)-xy)=0\]
这推出 $f(0,0)=0$.
此外, 根据第二个条件, 得
\[f(x,y)-xy=\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2}),\]
即
\[f(x,y)=xy+\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2}).\]
令 $g(x,y)=xy+\sqrt{x^2+y^2}$, 则有
\[\begin{cases}g\'_x &=y+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ g\'_y &=x+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ g\'\'_{xx}&=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ g\'\'_{xy}&=1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ g\'\'_{yx}&=g\'\'_{xy}\\ g\'\'_{yy}&=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{cases}\]
因此, $g(x,y)$ 的 Hessian 为
\[\text{Hess}(g)=\begin{vmatrix}g\'\'_{xx} & g\'\'_{xy}\\ g\'\'_{yx} & g\'\'_{yy}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} & 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}&\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{vmatrix}=-1+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.\]
注意
\[\frac{2xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\sqrt{x^2+y^2}}\]
而 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\not\rightarrow 0$, 当 $(x,y)\rightarrow(0,0)$ 时.
因此
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\biggl|\frac{2xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\biggr|=+\infty.\]
因此, $Hess(g)$ 的符号不定, 从而 $f(0,0)$ 不是函数 $f(x,y)$ 的极值.