设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续, 且
\[\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=1,\]
试判断 $f(0,0)$ 是否为函数 $f(x,y)$ 的极值, 为什么?
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由条件 $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$. 又根据第二个条件,
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(f(x,y)-xy)=0\]
这推出 $f(0,0)=0$.
此外, 根据第二个条件, 得
\[f(x,y)-xy=\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2}),\]
即
\[f(x,y)=xy+\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2}).\]
故当 $(x,y)$ 在原点附近时,
\[
f(x,y)\geqslant xy+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\geqslant xy+\frac{1}{2}\sqrt{2|xy|}.
\]
若记 $t=\sqrt{|xy|}$, 则 $xy=t^2$ 或 $xy=-t^2$. 若 $xy=t^2$, 则显然 $f(x,y)\geqslant 0$.
若 $xy=-t^2$, 则
\[
f(x,y)\geqslant -t^2+\frac{\sqrt{2}}{2}t=-(t-\frac{\sqrt{2}}{4})^2+\frac{1}{8}.
\]
于是当 $(x,y)\in B_{\varepsilon}(0,0)\setminus\{(0,0)\}$, 即 $t\in(0,\delta)$, 此时 $f(x,y) > 0$. 因此 $(0,0)$ 是 $f(x,y)$ 的极小值点.
令 $g(x,y)=xy+\sqrt{x^2+y^2}$, 则 $g$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不存在, 事实上
\[
\frac{\partial g}{\partial x}\biggr|_{(0,0)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x,0)-g(0,0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot 0+\sqrt{x^2+0^2}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}
\]
\[
\frac{\partial g}{\partial y}\biggr|_{(0,0)}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{g(0,y)-g(0,0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{0\cdot y+\sqrt{0^2+y^2}-0}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{|y|}{y}
\]
当 $(x,y)\neq (0,0)$ 时,
\[\begin{cases}g'_x &=y+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ g'_y &=x+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ g''_{xx}&=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ g''_{xy}&=1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ g''_{yx}&=g''_{xy}\\ g''_{yy}&=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{cases}\]
令 $g'_x=0$, $g'_y=0$,
\[
\begin{cases}
y+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,\qquad(1)\\
x+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,\qquad(2)
\end{cases}
\]
(1)*x-(2)*y 得
\[
\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
\]
这推出 $y=\pm x$. 若 $y=x$, 将其代入 (1) 得 $x+\frac{x}{\sqrt{2x^2}}=0$, 注意到此时 $x\neq 0$, 故 $1+\frac{1}{\sqrt{2}|x|}=1$, 无解. 若 $y=-x$, 将其代入 (1) 得 $-x+\frac{x}{\sqrt{2x^2}}=0$, 此时 $x\neq 0$, 故 $\sqrt{2}|x|=1$, 得 $x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
因此, 得到两个驻点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$. 注意 $(0,0)$ 并不是驻点.
$g(x,y)$ 的 Hessian 为
\[\mathrm{Hess}(g)=\begin{pmatrix}g''_{xx} & g''_{xy}\\ g''_{yx} & g''_{yy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} & 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}&\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{pmatrix}.\]
其行列式为
\[\det(\mathrm{Hess}(g))=\begin{vmatrix}g''_{xx} & g''_{xy}\\ g''_{yx} & g''_{yy}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} & 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ 1-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}&\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\end{vmatrix}=-1+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.\]
对于第一个驻点 $P_1=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$, 该点处的 Hessian 矩阵
\[
\mathrm{Hess}(g)\Bigr|_{P_1}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\]
是负定的, 因此 $P_1=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 是极大值点, 极大值为
\[g(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{1}{2}.\]
对于第二个驻点 $P_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$, 该点处的 Hessian 矩阵与 $P_1$ 处的完全相同, 因此也是极大值点, 极大值也是 $\frac{1}{2}$.
注意在原点附近时,
\[\frac{2xy}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\sqrt{x^2+y^2}}\]
而 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\not\rightarrow 0$, 当 $(x,y)\rightarrow(0,0)$ 时.
因此
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\biggl|\frac{2xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\biggr|=+\infty.\]
因此, $Hess(g)$ 的符号不定.
Remark:
$g(x,y)$ 的图像可以在 Desmos | 3D 图形计算器 上绘制.