设 $h$ 是鼓包函数. 任取一列实数 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$, 令

\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h(\xi_n x)}{n!}a_n x^n,\quad x\in\mathbb{R},
\]

其中 $\xi_n=n+\sum_{i=0}^{n}|a_i|$. 证明 $f$ 为光滑函数, 且

\[
f^{(n)}(0)=a_n,\quad n\geqslant 0.
\]

令 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为

\[
f(x)=\begin{cases}
e^{\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}},& x\in(a,b),\\
0, & x\in\mathbb{R}-(a,b).
\end{cases}
\]

证明 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数.

鼓包函数有时也称为截断函数. (特别是方程的人喜欢这么称呼.)

设 $W$ 为 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中开集, $W$ 中的点用 $(x,y)$ 表示, 其中 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$. $f:\ W\rightarrow\mathbb{R}^m$ 为 $C^k$ 映射,

\[
f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y),\ldots,f_m(x,y)).
\]

设 $(x^0,y^0)\in W$, $f(x^0,y^0)=0$ 且 $\det Jf_y(x^0,y^0)\neq 0$, 其中

\[
Jf_y(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial y_j}(x,y)\biggr)_{m\times m},
\]

则存在 $x^0$ 的开邻域 $V\subset\mathbb{R}^n$, 以及唯一的 $C^k$ 映射 $g:\ V\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得

(1) $y^0=g(x^0)$, $f(x,g(x))=0$, $\forall\ x\in V$.

(2) $Jg(x)=-[Jf_y(x,g(x))]^{-1} Jf_x(x,g(x))$, 其中

\[
Jf_x(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x,y)\biggr)_{m\times n},\quad (1\leqslant i\leqslant m,\ 1\leqslant j\leqslant n).
\]

References:

梅加强, 《数学分析》

对于 $x\in(-1,1)$, 有

\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+\cdots+\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n+\cdots
\]

将下面的函数在 $x=0$ 处作 Taylor 展开

\[
f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}
\]

关于 $f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数, 参见问题2598

此外, 还可以从另一个观点导出上面的结果

\[
\begin{split}
\frac{1}{(1-x)^2}&=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}\\
&=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)\cdot(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)
\end{split}
\]

$F(x)=\sin x^2\cdot\int_0^1f(t\sin x^2)dt$, 求 $\frac{dF}{dx}$.

对于 $t$ 的不同取值, 讨论函数 $f(x)=\frac{1+2x}{2+x^2}$ 在区间 $[t,+\infty)$ 上是否有最大值或最小值.

若存在最值, 求出相应的最值点和最值.

证明方程 $xe^{2x}-2x-\cos x=0$ 有且仅有两个根, 而且是一正一负.

设 $f(x)\in C^2[0,+\infty)$, $|f''(x)|\leqslant k$, $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到极值.

证明:

\[
|f'(0)|+|f'(a)|\leqslant ka.
\]

如果条件改为 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到在 $[0,a]$ 中的最大值 $M$, 则有

\[
|f(0)|+|f(a)|\leqslant 2M+\frac{k}{2}a^2.
\]

$\mathbb{R}$ 上是否存在这样的函数:

(1) 在有理数处取值有理数;

(2) 在有理数处可导, 且取值为无理数.

设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 求证 $\cos^2 x+x\sin x< 2$.