$F(x)=\sin x^2\cdot\int_0^1f(t\sin x^2)dt$, 求 $\frac{dF}{dx}$.

对于 $t$ 的不同取值, 讨论函数 $f(x)=\frac{1+2x}{2+x^2}$ 在区间 $[t,+\infty)$ 上是否有最大值或最小值.

若存在最值, 求出相应的最值点和最值.

证明方程 $xe^{2x}-2x-\cos x=0$ 有且仅有两个根, 而且是一正一负.

设 $f(x)\in C^2[0,+\infty)$, $|f''(x)|\leqslant k$, $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到极值.

证明:

\[
|f'(0)|+|f'(a)|\leqslant ka.
\]

如果条件改为 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到在 $[0,a]$ 中的最大值 $M$, 则有

\[
|f(0)|+|f(a)|\leqslant 2M+\frac{k}{2}a^2.
\]

$\mathbb{R}$ 上是否存在这样的函数:

(1) 在有理数处取值有理数;

(2) 在有理数处可导, 且取值为无理数.

设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 求证 $\cos^2 x+x\sin x< 2$.

$f(x)=\frac{4x^2-7}{2-x}$, $x\in [0,1]$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和值域.

(2) 设 $a\geqslant 1$, 函数 $g(x)=x^3-3a^2 x-2a$, $x\in[0,1]$. 若对 $\forall\ x_1\in[0,1]$, 总存在 $x_0\in[0,1]$, 使得 $g(x_0)=f(x_1)$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

证明: 方程

\[
4x-1-\int_0^x\frac{dt}{1+t^3}=0
\]

在区间 $(0,1)$ 内有唯一实根.

Jensen 不等式

设 $\varphi$ 是 $[\alpha,\beta]$ 上的凸函数, $f(x),p(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\alpha\leqslant f(x)\leqslant\beta$, $p(x)\geqslant 0$, $x\in[a,b]$. 并且 $\int_a^b p(x)\mathrm{d}x > 0$, 则

\[
\varphi\biggl(\frac{\int_a^b p(x)f(x)\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}\biggr)\leqslant\frac{\int_a^b p(x)\varphi(f(x))\mathrm{d}x}{\int_a^b p(x)\mathrm{d}x}.
\]

设 $f\in C^2[0,+\infty)$, $f > 0$ 且

\[\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0.\]

证明: $f$ 限制在任何区间 $[M,+\infty)$ 上都不是凹函数, 这里 $M>0$.

Cor. 存在点列 $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$, $(x_i < x_{i+1})$, 且 $x_n\rightarrow+\infty$,  使得 $f''(x_i)\geqslant 0$, $i=1,2,\ldots,n,\ldots$.