利用鼓包函数构造光滑函数
设 $h$ 是鼓包函数. 任取一列实数 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$, 令
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h(\xi_n x)}{n!}a_n x^n,\quad x\in\mathbb{R},
\]
其中 $\xi_n=n+\sum_{i=0}^{n}|a_i|$. 证明 $f$ 为光滑函数, 且
\[
f^{(n)}(0)=a_n,\quad n\geqslant 0.
\]
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