问题及解答

对于 $t$ 的不同取值, 讨论函数 $f(x)=\frac{1+2x}{2+x^2}$ 在区间 $[t,+\infty)$ 上是否有最大值或最小值.

若存在最值, 求出相应的最值点和最值.

\[
f'(x)=\frac{2(2+x^2)-(1+2x)\cdot 2x}{(2+x^2)^2}=\frac{4-2x-2x^2}{(2+x^2)^2},
\]

因此

\[
f'(x) > 0 \Leftrightarrow 2-x-x^2 > 0 \Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^2 < \frac{9}{4} \Leftrightarrow  -2 < x < 1.
\]

因此, 函数在 $(-\infty,-2)$ 上是严格单调递减, 在 $(-2,1)$ 上是严格单调递增, 在 $(1,+\infty)$ 上是严格单调递减.

又

\[
\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1+2x}{2+x^2}=0,
\]

注意到 $f(-\frac{1}{2})=0$. 总结如下,

• 当 $t\leqslant -2$ 时, 函数在 $[t,+\infty)$ 上有最大最小值, $f_{\min}=f(-2)=-\frac{1}{2}$, $f_{\max}=f(1)=1$.
• 当 $t\in(-2,-\frac{1}{2}]$ 时, 函数在 $[t,+\infty)$ 上有最大最小值, $f_{\min}=f(t)=\frac{1+2t}{2+t^2}$, $f_{\max}=f(1)=1$.
• 当 $t\in(-\frac{1}{2},1]$ 时, 函数在 $[t,+\infty)$ 上只有有最大值, $f_{\max}=f(1)=1$.
• 当 $t\in(1,+\infty)$ 时, 函数在 $[t,+\infty)$ 上只有最大值, $f_{\max}=f(t)=\frac{1+2t}{2+t^2}$.