问题及解答

设 $f(x)\in C^2[0,+\infty)$, $|f''(x)|\leqslant k$, $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到极值.

证明:

\[
|f'(0)|+|f'(a)|\leqslant ka.
\]

如果条件改为 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取到在 $[0,a]$ 中的最大值 $M$, 则有

\[
|f(0)|+|f(a)|\leqslant 2M+\frac{k}{2}a^2.
\]

不妨设 $f(x)$ 在 $x_0\in(0,a)$ 处取得最大值. 于是 $f'(x_0)=0$.

将 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处作 Taylor 展开, 得

\[
f'(0)=f'(x_0)+\frac{f''(\xi_1)}{1!}(0-x_0),
\]

\[
f'(a)=f'(x_0)+\frac{f''(\xi_2)}{1!}(a-x_0),
\]

其中 $\xi\in(0,x_0)$, $\xi_2\in(x_0,a)$. 从而, 得

\[
|f'(0)|+|f'(a)|=|f''(\xi_1)|x_0+|f''(\xi_2)|(a-x_0)\leqslant k(x_0+a-x_0)=ka.
\]

如果将 $f(x)$ 在 $x_0$ 处作 Taylor 展开, 得

\[
f(0)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(0-x_0)+\frac{f''(\xi_1)}{2!}(0-x_0)^2,
\]

\[
f(a)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(a-x_0)+\frac{f''(\xi_2)}{2!}(a-x_0)^2,
\]

其中 $\xi\in(0,x_0)$, $\xi_2\in(x_0,a)$. 则可得

\[
\begin{split}
|f(0)|+|f(1)|&\leqslant 2|f(x_0)|+\frac{k}{2}\bigl[x_0^2+(a-x_0)^2\bigr]\\
&\leqslant 2M+\frac{k}{2}\bigl[2(x_0-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{2}\bigr]\\
&\leqslant 2M+\frac{k}{2}a^2.
\end{split}
\]