设 $y=\phi(x)$ 是严格单调递增的连续函数. $\phi(0)=0$, $x=\varphi(y)$ 是其反函数.
(1) 证明, 对于 $a > 0$, $b > 0$, 有
\[
\int_0^a \phi(x)dx+\int_0^b \varphi(y)dy\geqslant ab.
\]
(2) 利用 (1) 的结论, 证明对于 $a > 0$, $b > 0$, $p > 1$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有
\[
ab\leqslant\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
\]
1
(1) 根据定积分的几何意义即可推出.
比如 $\int_0^a \phi(x)dx$ 是指函数 $\phi(x)$ 在由曲线 $\phi(x)$ 与 $x$-轴及直线 $x=a$ 之间围成的区域的面积. (注意此时 $\phi(0)=0$. )
而 $\int_0^b \varphi(y)dy$ 则是曲线 $(x,\phi(x))$ 与 $y$-轴与直线 $y=b$ 之间所围区域的面积.
因此两者相加总是比 $ab$ 来得大或相等. (相等是在 $b=\phi(a)$ 时发生.)
(2)
令 $y=\phi(x)=x^{p-1}$. 显然当 $p > 1$ 时, 满足 $\phi(x)$ 严格单调递增且连续的条件. 其反函数为 $x=\varphi(y)=y^{\frac{1}{p-1}}$.
设 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 则 $\frac{1}{p-1}=q-1$. 因此根据 (1) 的结论, 有
\[
\begin{split}
ab&\leqslant\int_0^a x^{p-1}dx+\int_0^b y^{q-1}dy\\
&=\frac{1}{p}x^{p}\biggr|_{0}^{a}+\frac{1}{q}y^{q}\biggr|_{0}^{b}\\
&=\frac{1}{p}a^{p}+\frac{1}{q}b^{q}.
\end{split}
\]