关于不等式 $ab\leqslant\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ 的证明
设 $y=\phi(x)$ 是严格单调递增的连续函数. $\phi(0)=0$, $x=\varphi(y)$ 是其反函数.
(1) 证明, 对于 $a > 0$, $b > 0$, 有
\[
\int_0^a \phi(x)dx+\int_0^b \varphi(y)dy\geqslant ab.
\]
(2) 利用 (1) 的结论, 证明对于 $a > 0$, $b > 0$, $p > 1$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有
\[
ab\leqslant\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}
\]