问题及解答

求函数 $f(x)=(1-x)^x+x^{1-x}$ 的极值, 这里 $x\in[0,1]$.

更一般的, 求 $f(x,y)=x^y+y^x$ 在区域 $[0,1]\times[0,1]$ 中的极值.

\[
\begin{split}
f'(x)&=\bigl((1-x)^x\bigr)'+\bigl(x^{1-x}\bigr)'\\
&=e^{x\ln(1-x)}\Bigl[\ln(1-x)-\frac{x}{1-x}\Bigr]+e^{(1-x)\ln x}\Bigl[-\ln x+\frac{1-x}{x}\Bigr].
\end{split}
\]

待续

计算 $f(x,y)$ 的 Hessian.

\[
\begin{aligned}
f_x&=yx^{y-1}+y^x \ln y,\\
f_y&=xy^{x-1}+x^y \ln x,\\
f_{xx}&=y(y-1)x^{y-2}+y^x(\ln y)^2,\\
f_{yy}&=x(x-1)y^{x-2}+x^y(\ln x)^2,\\
f_{xy}&=yx^{y-1}\ln x+xy^{x-1}\ln y+x^{y-1}+y^{x-1}.
\end{aligned}
\]

待续