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Answer

问题及解答

设 $y=f(x)=x+\frac{a}{x}$, $a>0$. 证明 $f(x)$ 在 $(0,\sqrt{a}]$ 上严格单调递减, 在 $[\sqrt{a},+\infty)$ 上严格单调递增.

Posted by haifeng on 2025-01-23 08:23:47 last update 2025-01-23 08:23:47 | Edit | Answers (1)

设 $y=f(x)=x+\frac{a}{x}$, $a>0$. 证明 $f(x)$ 在 $(0,\sqrt{a}]$ 上严格单调递减, 在 $[\sqrt{a},+\infty)$ 上严格单调递增.

(注:  这是高中题, 不使用导数.)

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Posted by haifeng on 2025-01-23 08:29:27

证明: 这个函数的定义域为 $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 是奇函数.

设 $\sqrt{a}\leqslant x_1 < x_2$, 则

\[
\begin{split}
f(x_1) < f(x_2) &\Leftrightarrow x_1+\frac{a}{x_1} < x_2+\frac{a}{x_2}\\
&\Leftrightarrow \frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2} < x_2-x_1\\
&\Leftrightarrow a\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2} < x_2-x_1\\
&\Leftrightarrow a < x_1 x_2
\end{split}
\]

而这显然是成立的. 故函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{x}$ 在 $[\sqrt{a},+\infty)$ 上严格单调递增.

类似可证明 $f(x)$ 在 $(0,\sqrt{a}]$ 上严格单调递减.