问题及解答

求曲线
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x^2+3y^2+z^2&=9,\\
3x^2+y^2-z^2&=0
\end{aligned}
\right.
\]
在点 $(1,-1,2)$ 处的切线方程和法平面方程.

记此曲线为 $\Gamma$, 容易验证 $(1,-1,2)\in\Gamma$. 令
\[
\begin{aligned}
F(x,y,z)&=2x^2+3y^2+z^2-9,\\
G(x,y,z)&=3x^2+y^2-z^2.
\end{aligned}
\]
且记 $\pi_1,\,\pi_2$ 分别为 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 所对应的曲面. 先对 $F,G$ 求偏导数,
\[
\begin{aligned}
&F'_x=4x,\quad F'_y=6y,\quad F'_z=2z,\\
&G'_x=6x,\quad G'_y=2y,\quad G'_z=-2z.
\end{aligned}
\]
于是 $\pi_1$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的法向量
\[
\vec{n}_1=(F'_x,F'_y,F'_z)\Bigr|_{(1,-1,2)}=(4x,6y,2z)\Bigr|_{(1,-1,2)}=(4,-6,4),
\]
$\pi_2$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的法向量
\[
\vec{n}_2=(G'_x,G'_y,G'_z)\Bigr|_{(1,-1,2)}=(6x,2y,-2z)\Bigr|_{(1,-1,2)}=(6,-2,-4),
\]
于是
\[
\vec{n}_1\times\vec{n}_2=
\begin{vmatrix}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
  4 & -6 & 4 \\
  6 & -2 & -4
\end{vmatrix}=
4(8\vec{i}+10\vec{j}+7\vec{k}),
\]
因此, 曲线 $\Gamma$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切向量可取为 $\vec{v}=(8,10,7)$. 该点处的切线方程为
\[
\frac{x-1}{8}=\frac{y+1}{10}=\frac{z-2}{7},
\]
该点处的法平面方程为
\[
8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0,
\]
化简为 $8x+10y+7z-12=0$.