设 $f(x)$, $g(x)$ 为区间 $I$ 上的一致连续函数. 则

1.  $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在 $I$ 上也是一致连续的;
2.  如果 $f(x)$, $g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;
3.  如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon_0 > 0$, 使得 $g(x)\geqslant\varepsilon_0$, $\forall x\in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;
4.  一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

见梅加强 编著 《数学分析》 P.91 命题 3.4.8

研究函数 $f(x)=[2x]-2[x]$ ($x\in\mathbb{R}$) 的周期性.

  反双曲正弦: 
  \[
  y=\mathrm{arcsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
  \]

  反双曲余弦:
  \[
  y=\mathrm{arccosh} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})
  \]

  反双曲正切:
  \[
  y=\mathrm{arctanh} x=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
  \]

证明:

  \[
  \begin{aligned}
  \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\
  \sinh(x-y)=\sinh(x)\cosh(y)-\cosh(x)\sinh(y)\\
  \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\
  \cosh(x-y)=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)\\
  \end{aligned}
  \]

设 $f(x)=\frac{a}{x}+\ln x$, 设 $f(x_1)=f(x_2)=2$, ($x_1\neq x_2$). 证明: $a^2 < x_1 x_2 < ae$.

提示:  要证 $a^2 < x_1 x_2$, 即证 $\frac{a^2}{x_1} < x_2$, 而 $a < \frac{a^2}{x_1}$.

(直接看第三个解答.)

证明: $\log(n!)\geqslant\frac{n}{2}\log\frac{n}{2}$.

证明: 当正整数 $n\geqslant 3$ 时, 有

\[n! < (\frac{n}{2})^n+(\frac{n}{2})^n=\frac{n^n}{2^{n-1}}.\]

设 $f(x,y)$ 分别关于变量 $x,y$ 为连续函数, 证明: 如果 $f$ 关于其中一个变量是单调函数(比如偏导数存在且非负), 则 $f$ 为二元连续函数.

参考自[1] P. 416 习题 12.1 第9题.

References:

[1] 梅加强  著 《数学分析》,  高等教育出版社.

设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的有界可积函数,  证明

\[\liminf_{t\rightarrow\infty}f(t)\leqslant\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s.\]

Remark: $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上可积即可.

Keywords: 上极限($\limsup$)、下极限($\liminf$)

证明: 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ 时, $\sin x+\tan x\geqslant 2x$.