问题及解答

研究函数 $f(x)=[2x]-2[x]$ ($x\in\mathbb{R}$) 的周期性.

对任意实数 $x$, $[x]\leqslant x <[x]+1$, 故 $2[x]\leqslant 2x<2[x]+2$. 因此
\[
0\leqslant [2x]-2[x] < 2,
\]
即 $f(x)$ 只取值 $0$ 或 $1$.

设 $n\in\mathbb{Z}$. 当 $x\in[n,n+\frac{1}{2})$ 时, $2n\leqslant 2x < 2n+1$. 此时 $[2x]=2n$, $[x]=n$, 故 $f(x)=[2x]-2[x]=0$;

当 $x\in[n+\frac{1}{2},n+1)$ 时, $2n+1\leqslant 2x < 2n+2$. 此时 $[2x]=2n+1$, $[x]=n$, 故 $f(x)=[2x]-2[x]=1$.

因此, $f(x)$ 是周期函数, 最小正周期为 $1$.