问题及解答

证明: 当正整数 $n\geqslant 3$ 时, 有

\[n! < (\frac{n}{2})^n+(\frac{n}{2})^n=\frac{n^n}{2^{n-1}}.\]

可使用归纳法证明.

首先, 当 $n=3$ 时, 不等号成立.

\[3!=6 < \frac{3^3}{2^{3-1}}\]

假设命题对 $n=k$ 成立, 这里 $k\geqslant 3$. 即有 $k! < \frac{k^k}{2^{k-1}}$.

则当 $n=k+1$ 时,

\[
(k+1)!=(k+1)\cdot k! < (k+1)\cdot \frac{k^k}{2^{k-1}}
\]

我们希望有

\[
(k+1)\cdot \frac{k^k}{2^{k-1}} < \frac{(k+1)^{k+1}}{2^{k+1-1}}
\]

即等价于

\[
\begin{split}
&\frac{k^k}{2^{k-1}} < \frac{(k+1)^k}{2^k}\\
\Leftrightarrow\ &2k^k<(k+1)^k\\
\Leftrightarrow\ &2 < (1+\frac{1}{k})^k
\end{split}
\]

这在 $k\geqslant 2$ 时都是成立的, 因为 $\{(1+\frac{1}{k})^k\}$ 是严格单调递增的.