问题及解答

设 $f(x)$, $g(x)$ 为区间 $I$ 上的一致连续函数. 则

1.  $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在 $I$ 上也是一致连续的;
2.  如果 $f(x)$, $g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;
3.  如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon_0 > 0$, 使得 $g(x)\geqslant\varepsilon_0$, $\forall x\in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;
4.  一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

见梅加强 编著 《数学分析》 P.91 命题 3.4.8

(1)  根据条件, $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续. 故任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $\delta_1=\delta_1(\varepsilon) > 0$, 使得当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2| < \delta_1$ 时, 有

\[|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.\]

又 $g(x)$ 在 $I$ 上一致连续, 对此 $\varepsilon$, 存在 $\delta_2=\delta_2(\varepsilon) > 0$, 使得当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2| < \delta_2$ 时, 有

\[|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon.\]

取 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, 则当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2| < \delta$ 时, $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ 和 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$ 都成立, 从而

\[
\begin{split}
\Bigl|\bigl(\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)\bigr)-\bigl(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2)\bigr)\Bigr|&\leqslant\Bigl|\alpha\bigl(f(x_1)-f(x_2)\bigr)\Bigr|+\Bigl|\beta\bigl(g(x_1)-g(x_2)\bigr)\Bigr|\\
&\leqslant\alpha\varepsilon+\beta\varepsilon\\
&=(\alpha+\beta)\varepsilon,
\end{split}
\]

故 $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在 $I$ 上也是一致连续的.

(2)  设 $|f(x)|\leqslant M_1$, $\forall x\in I$; $|g(x)|\leqslant M_2$, $\forall x\in I$. 

任给 $\varepsilon > 0$, 由于 $f(x)$, $g(x)$ 均在 $I$ 上一致连续, 跟(1)中论述一样, 存在 $\delta>0$, 当 $x_1,x_2\in I$ 且 $|x_1-x_2|<\delta$ 时, 有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$, $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$,

\[
\begin{split}
\Bigl|f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)\Bigr|&=\Bigl|f(x_1)g(x_1)-f(x_1)g(x_2)+f(x_1)g(x_2)-f(x_2)g(x_2)\Bigr|\\
&\leqslant\Bigl|f(x_1)\bigl(g(x_1)-g(x_2)\bigr)\Bigr|+\Bigl|\bigl(f(x_1)-f(x_2)\bigr)g(x_2)\Bigr|\\
&\leqslant M_1\cdot\varepsilon+\varepsilon\cdot M_2\\
&=(M_1+M_2)\varepsilon,
\end{split}
\]

故 $f(x)g(x)$ 在 $I$ 上一致连续.