问题及解答

  反双曲正弦: 
  \[
  y=\mathrm{arcsinh} x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
  \]

  反双曲余弦:
  \[
  y=\mathrm{arccosh} x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})
  \]

  反双曲正切:
  \[
  y=\mathrm{arctanh} x=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
  \]

(1)

\[
y=\mathrm{arcsinh}x\ \Rightarrow\ x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}
\]

这推出

\[
(e^y)^2-2xe^y-1=0
\]

从而

\[
e^y=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^2+4}}{2}=x\pm\sqrt{x^2+1}
\]

由于 $e^y > 0$, 故舍去其中负的, 得

\[
e^y=x+\sqrt{x^2+1}
\]

因此,

\[
y=\ln(x+\sqrt{x^2+1}).
\]

(2)

\[
y=\mathrm{arccosh}x\ \Rightarrow\ x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}{2}
\]

这推出

\[
(e^y)^2-2xe^y+1=0
\]

从而

\[
e^y=\frac{2x\pm\sqrt{(2x)^2-4}}{2}=x\pm\sqrt{x^2-1}
\]

注意 $x=\cosh y\geqslant 1$, 故 $x\pm\sqrt{x^2-1} > 0$. 

当 $y\in(-\infty,0]$ 时, $e^y\leqslant 1$, 从而

\[
e^y=x-\sqrt{x^2-1}\quad\Rightarrow\quad y=\ln(x-\sqrt{x^2-1}).
\]

当 $y\in[0,+\infty)$ 时, $e^y\geqslant 1$, 从而

\[
e^y=x+\sqrt{x^2-1}\quad\Rightarrow\quad y=\ln(x+\sqrt{x^2-1}).
\]

(3)

\[
y=\mathrm{arctanh}x\ \Rightarrow\ x=\tanh y=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}
\]

这推出

\[
\begin{split}
\Rightarrow\quad &x=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}\\
\Rightarrow\quad &(1-x)e^{2y}=1+x\\
\Rightarrow\quad &e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}
\end{split}
\]

由于 $e^y > 0$, 故

\[
e^y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
\]

从而

\[
y=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.
\]