11. 设 $0 < a < b$, 证明 $\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}$.
Posted by haifeng on 2024-05-22 08:41:43 last update 2024-05-22 08:41:43 | Answers (0) | 收藏
设 $0 < a < b$, 证明
\[\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}.\]
Posted by haifeng on 2024-05-22 08:41:43 last update 2024-05-22 08:41:43 | Answers (0) | 收藏
设 $0 < a < b$, 证明
\[\ln b-\ln a > \frac{2(b-a)}{b+a}.\]
Posted by haifeng on 2024-05-22 08:26:21 last update 2024-05-22 08:26:21 | Answers (1) | 收藏
证明:
\[\ln(2n+1) > 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.\]
Posted by haifeng on 2024-05-22 08:22:38 last update 2024-05-22 08:22:38 | Answers (0) | 收藏
设 $\frac{x_1}{e^{x_1}}=\frac{x_2}{e^{x_2}}$, 证明 $x_1+x_2 > 2$.
Posted by haifeng on 2023-12-31 13:34:29 last update 2023-12-31 14:07:50 | Answers (1) | 收藏
找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.
尝试:
\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]
注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.
题目来自[1] 习题1.1, P.3
[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版
Posted by haifeng on 2023-12-31 13:04:59 last update 2023-12-31 13:04:59 | Answers (0) | 收藏
今天买到了第二版,甚为高兴, 记录一下。 ------ 2023-12-31
以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方(如有误请指正).
[1] 梅加强 编著《数学分析》第二版, 高等教育出版社, 2020.6 (2021.4 重印)
页码/行数 | 原文 | 修改为 |
---|---|---|
P. 1, L.-6 | $1+q+q^2\cdots+q^{n-1}$ | $1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}$ |
Posted by haifeng on 2023-10-28 21:07:18 last update 2023-10-28 21:50:49 | Answers (4) | 收藏
设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.
注: 此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.
证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束!这道题你会做吗?_哔哩哔哩_bilibili
或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)
这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.
Posted by haifeng on 2023-10-28 10:59:13 last update 2023-12-31 13:03:42 | Answers (0) | 收藏
以下记录书[1]中发现的可能是排版错误的地方(如有误请指正).
[1] 梅加强 编著《数学分析》, 高等教育出版社, 2011.7 (2013.5 重印)
页码/行数 | 原文 | 修改为 |
---|---|---|
P. 77, L.2 | $\tan x-\sin x\sim x$ | $\tan x-\sin x\sim\frac{1}{2}x^3$ |
P. 137, L.5 | $\displaystyle\int f(u)\mathrm{d}u+C$ | $\displaystyle\int f(u)\mathrm{d}u$ |
P. 162, L.14 | $\forall\ x\in(-\infty,M)\cup(M,+\infty)$ | $\forall\ x\in(-\infty,-M)\cup(M,+\infty)$ |
P. 167, L.-3 | 设 $f$ 是 $n$ 阶可导函数, | 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数且在 $(a,b)$ 内 $n$ 阶可导, |
P. 170, 定理 5.3.3 (反函数定理) | 根据推论 3.3.6 即知 $f$ 可逆 | 不必使用此推论. $f$ 是单射即可推出 $f:I\rightarrow f(I)$ 可逆. |
P. 178, L. 4 | 当 $x_2\rightarrow x_{+}$ 时, |
建议改为: 当 $x_2\rightarrow x^{+}$ 时, |
P. 205, 习题5.8, 1(1) | 与P. 187 习题5.6 2.(3) 重复. | |
P. 209, L.9 | 做 $n$ 等分 | 作 $n$ 等分 |
P. 210, L.2 L.3 |
任给一个分割 因此 $D(x)$ 的积分和 |
任给 $[0,1]$ (或其它某个长度为 1 的闭区间)的一个分割 因此 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上的积分和
|
P. 224, L.-7 | $\sum\limits_{i-1}^{n}$ | $\sum\limits_{i=1}^{n}$ |
P. 233, L.-4 | $f(\varphi(t))\varphi(t)$ | $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ |
P. 281, L.-2 | 如果判别 | 如何判别 |
Remark: P. 12 表示第12页, L.3 表示第3行, L.-3 表示倒数第3行.
Posted by haifeng on 2023-10-17 10:50:56 last update 2023-10-17 10:51:32 | Answers (1) | 收藏
定义函数 $f(x)$ 如下,
\[
f(x)=\begin{cases}
-x, & x < 0,\\
\frac{1}{2}f(x-f(x-1)), & x\geqslant 0.
\end{cases}
\]
求 $f(3)$.
注: 题目来源于 QQ群 数学竞赛之窗
Posted by haifeng on 2023-10-17 10:28:35 last update 2023-10-17 10:28:35 | Answers (1) | 收藏
讨论函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的性质. 这里 $ab\neq 0$.
Posted by haifeng on 2023-10-12 09:08:44 last update 2023-10-12 09:19:20 | Answers (2) | 收藏
(1) 设当 $x\rightarrow 0$ 时, $1-\cos(x^2)$ 是 $x\sin^n x$ 的高阶无穷小, 而 $x\sin^n x$ 又是 $e^{x^2}-1$ 的高阶无穷小, 求正整数 $n$.
(2) 已知当 $x\rightarrow 0$ 时, $\ln\sqrt{\cos x}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小, 求常数 $k$.