问题及解答

(1)   设当 $x\rightarrow 0$ 时, $1-\cos(x^2)$ 是 $x\sin^n x$ 的高阶无穷小, 而 $x\sin^n x$ 又是 $e^{x^2}-1$ 的高阶无穷小, 求正整数 $n$.

(2)  已知当 $x\rightarrow 0$ 时, $\ln\sqrt{\cos x}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小, 求常数 $k$.

(1)

由条件 $1-\cos(x^2)=o(x\sin^n x)$ $(x\rightarrow 0)$, 故 

\[
0=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x^2)}{x\sin^n x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}(x^2)^2}{x\cdot x^n}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^4}{x^{n+1}},
\]

这推出 $n+1 < 4$, 即 $n < 3$.

另一方面, $x\sin^n x=o(e^{x^2}-1)$ $(x\rightarrow 0)$, 故 

\[
0=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin^n x}{e^{x^2}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{n+1}}{x^2}.
\]

这推出 $n+1 > 2$, 即 $n > 1$.

因此正整数 $n$ 需满足 $1 < n < 3$, 即得 $n=2$.

(2)  由条件 $\ln\sqrt{\cos x}=O^*(x^k)$ $(x\rightarrow 0)$, 即

\[
\begin{split}
0\neq C&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\sqrt{\cos x}}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+(\sqrt{\cos x}-1))}{x^k}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\cos x}-1}{x^k}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^k(\sqrt{\cos x}+1)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{2x^k}
\end{split}
\]

这推出 $k=2$.