设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.
注: 此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.
证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束！这道题你会做吗？_哔哩哔哩_bilibili
或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)
这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.
1
首先 $a_{n+1} > a_n$, 故 $\{a_n\}$ 是严格单调递增的数列.
将递推公式两边取倒数,
\[
\frac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n+\frac{a_n^2}{n^2}}=\frac{1}{a_n}\cdot\frac{1}{1+\frac{a_n}{n^2}}=\frac{1}{a_n}\cdot\Bigl(1-\dfrac{\frac{a_n}{n^2}}{1+\frac{a_n}{n^2}}\Bigr)=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{n^2+a_n},
\]
即
\[
\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{n^2+a_n}.
\]
于是
\[
\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}=\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\Bigr)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+a_k}.
\]
这推出
\[
\begin{split}
\frac{1}{a_{n+1}}&=\frac{1}{a_1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+a_k}\\
&=\frac{1}{a_1}-\biggl[\frac{1}{1^2+a_1}+\frac{1}{2^2+a_2}+\frac{1}{3^2+a_3}+\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{k^2+a_k}\biggr]\\
& > \frac{1}{\frac{2}{5}}-\biggl[\frac{1}{1+\frac{2}{5}}+\frac{1}{4+\frac{12}{25}}+\frac{1}{9+\frac{303}{625}}+\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{k^2+a_4}\biggr]\\
&=\frac{5}{2}-\frac{12365}{11856}-\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{k^2+a_4}\\
& > \frac{5}{2}-\frac{12365}{11856}-\sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{k^2}\\
&=\frac{17275}{11856}-\frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\\
&=\frac{100237}{35568}-\frac{\pi^2}{6}
\end{split}
\]
取 $\pi$ 为
>> pi()
out> 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
------------------------
>> 100237/35568-pi^2/6
in> 100237/35568-3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679^2/6
out> 1.1732451954099831901582640956121844374117293610514111888951210328882021562274783884245807260109205571
------------------------
>> 1/1.1732451954099831901582640956121844374117293610514111888951210328882021562274783884245807260109205571
in> 1/1.1732451954099831901582640956121844374117293610514111888951210328882021562274783884245807260109205571
out> 0.8523367527199259137223649929392592715446226054869969414563359727960636278088041445804898332626884568
------------------------
因此
\[
a_{n+1} < 0.852336752719925913722364993,\quad\forall\ n\in\mathbb{Z}^+
\]
2
利用 Sowya 计算 $a_n$ 的前 10 项, 以分数形式.
>> :mode fraction
Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6
>> printRecursiveSeries(a_n+a_n^2/n^2,a_n,2/5,10,\n,linenumber)
[1] 2|5
[2] 12|25
[3] 303|625
[4] 568226|1171875
[5] 5327119034113|10986328125000
[6] 1463136941742467485322159113|3017485141754150390625000000
[7] 158939783354142128944375215975466213495087194047822159113|327787796905454342777375131845474243164062500000000000000
[8] 2552827549887938196780857692972543468950534686052537453047850096987467352483934235422817888698846649694047822159113|5264797150206437797139713462884075382525970185701447157100574258947744965553283691406250000000000000000000000000000
[9] 860167629415583995754523948279918604012412662011309726713380738168576698910377632738161958899239461915774642659374878162286043307364092576515164213918680471755897316358713265660146640520636175340485422817888698846649694047822159113|1773957698100597040135007983776340428583254700655625379680648385695047358302128054253996901621820902934153617170952312946404611729983580303837698011193424463272094726562500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
[10] 123597980016556059825852791539807106497526466040628880455596213001558359286854059038399039940901647498972005669185389980116104485720435942110592368264294392429027247467321965275364505002803671875914883349399720938468414250235374135629103053885244955323705595421688311704279455563150245057948332052814990448307896103466101436160048671417019880854405505552669966652732403651791488331940556091644202980421213265660146640520636175340485422817888698846649694047822159113|254900999086679888311268705205260587571376987852178895760082300421146267876195183944474013816649389130825499965826932886413827005055529075425530725746088218934922702615589876088411934925873270983971241544148518033312161802442393897623244173965798175846204691499395121543033772930768486084161288460084651696924140651390189304947853088378906250000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
3
在 numerical 模式下计算前 50000 项. 精度设定为 100.
printRecursiveSeries(a_n+a_n^2/n^2,a_n,2/5,50000,\n,linenumber)
--------------------------------------------------------------------------------
[49971] 0.8445972160520690277024452308622151346276996411132940704280853808009849798215233934536370839482747095
[49972] 0.8445972163377380906615671799454621977779564446495040665815895387523139208141375247281645055259261690
[49973] 0.8445972166233957207632306264574578045523365779986898747464281287730797331034477736941122774272414285
[49974] 0.8445972169090419186937591754820787753051615257065668719604910917313151524882565189809623107477984431
[49975] 0.8445972171946766851394214991269579049509442637476030523762288887532635029715939970793313954977385491
[49976] 0.8445972174803000207864313420193817344913539314930946339554235744563243547464785309791652345744474005
[49977] 0.8445972177659119263209475268015285158467311994888908171959828936948120873419755028883924371178278302
[49978] 0.8445972180515124024290739596250464624051163599056050920973430582592754770338292294661838323117356998
[49979] 0.8445972183371014497968596356449723776869599818528672823122193598516114822323160610857581572886205732
[49980] 0.8445972186226790691102986445129907545088964527182219620695546014033336021268622430761523767984106572
[49981] 0.8445972189082452610553301758700334370151738687677380767425446899596686862190917385985596064488880793
[49982] 0.8445972191938000263178385248382199379305495428964519219658405320542512936212636613109704796061800512
[49983] 0.8445972194793433655836530975121385033736788641097287262421586565552216469903003661618896713827075662
[49984] 0.8445972197648752795385484164494680175552463715189218043102177523914869562462427496457051976298210808
[49985] 0.8445972200503957688682441261609408396703116948138746703444925624611461638692395433010744672547574053
[49986] 0.8445972203359048342584049985996466652795694627985098612398826682203790446117351885671856432666748233
[49987] 0.8445972206214024763946409386496775044594513911117549053353998131014924399602596340620188022135318760
[49988] 0.8445972209068886959625069896141138689862305291722643819807141956568075434497181219584757605083987880
[49989] 0.8445972211923634936475033387023522608045220741498179417602104524216852790817347554968421000124349008
[49990] 0.8445972214778268701350753225167740540158122458470351456488036317847763889699759307003821801876647714
[49991] 0.8445972217632788261106134325387558626078864602403937157459128195163239270887552122890303905120515968
[49992] 0.8445972220487193622594533206140214861312704405478299564664630959474125898278968018197393547921916697
[49993] 0.8445972223341484792668758044373355255140429625299173651076640564716422637429996287936732918981708944
[49994] 0.8445972226195661778181068730365387611916266447613574144265595210429491900092579669796734569868106654
[49995] 0.8445972229049724585983176922559253857134135642979876869766932972611945143374031431197811381351877401
[49996] 0.8445972231903673222926246102389621829733355029805463929723796590575061410263471963398450465684021572
[49997] 0.8445972234757507695860891629103497461967443090289750956191297215386552170576342625444316837049499808
[49998] 0.8445972237611228011637180794574258268012261920591563210971021584325544024764557871358043342992317517
[49999] 0.8445972240464834177104632878109109062342347566668495732836336601019499304000777019908545716717759711
[50000] 0.8445972243318326199112219201249960828756912197405048140342136582233161608585661248988789469444481819
4
[99971] 0.8446043558744436894659527529115596143880430812769042151371665223274626768992620519271114448789609595
[99972] 0.8446043559458207339451496386463351343663604721708316209124054539816376771651678229803267447837142856
[99973] 0.8446043560171963505028390713831478521837494787794651304732992416900995189486689740080432420232498572
[99974] 0.8446043560885705391818696893239335340271706933975607729835822682284754440890558412609229866772252302
[99975] 0.8446043561599433000250884163024160383905912800997230804483867157681244714971013903304569915349075349
[99976] 0.8446043562313146330753404618698460084723829905318479524880503958997628317583177680295316034115133150
[99977] 0.8446043563026845383754693213807344190854475181116293780403434967054750803824189342167116909419722676
[99978] 0.8446043563740530159683167760785809784403313157821025460089990418906082616157929780404589634739838962
[99979] 0.8446043564454200658967228931815973851615631755378806155234547681437941446522842723216711684554968114
[99980] 0.8446043565167856882035260259684254408974190436143603867564081718258077518687690176948749643157812725
[99981] 0.8446043565881498829315628138638500188832897234954637734205721504808114751544829360228579732363076446
[99982] 0.8446043566595126501236681825245068888187982997551878149469494568332087918646339690681973430689627762
[99983] 0.8446043567308739898226753439245853984187852992020964952982794470693229770414254341357860202495346173
[99984] 0.8446043568022339020714157964415260119982507918436434003050888802054066390798304989303030481297044076
[99985] 0.8446043568735923869127193249417127064513138228286058187843912991938767947557371871700566891343198294
[99986] 0.8446043569449494443894140008661602249842207577606788755098454440245540481260896309172031410591642673
[99987] 0.8446043570163050745443261823161961889624053176041633058819226735199253502254881719567307977463657495
[99988] 0.8446043570876592774202805141391380682315742758234232009662438816609679329188994166346772898607364022
[99989] 0.8446043571590120530600999280139650102727639894111311540272777226288066759853626153568329444644956913
[99990] 0.8446043572303634015066056425369845285512841370659984409098223945863710042742628426225103192616288419
[99991] 0.8446043573017133228026171633074940504194362419784479102627059518598868193035035334618188022613411946
[99992] 0.8446043573730618169909522830134373249328657634722679178289000643088039145599832950983187624967410356
[99993] 0.8446043574444088841144270815170556909403777511314277125316733627777146582364711382791425418446825180
[99994] 0.8446043575157545242158559259405342058070172670136790000689739092446395929638013112545274617501670732
[99995] 0.8446043575870987373380514707516426351301869961160558298995019016932318428679462709014445546031148947
[99996] 0.8446043576584415235238246578493713038085456824116563600821832034836770613816878724816644205087643904
[99997] 0.8446043577297828828159847166495618088234022475218863661375242621994782675418010653498217966395835001
[99998] 0.8446043578011228152573391641705325940922916714234065181560144418433407960624585586334373053367637356
[99999] 0.8446043578724613208906938051186993877543899395140944265031701194998940372179812683139153506864359093
[100000] 0.8446043579437983997588527319741905022473965878771492508738263141455920301531865882370544903847951028
NOTE: 上面的数据也可以使用下面的命令得到
>> printRecursiveSeries(a_n+a_n^2/(99970+n)^2,a_n,0.8446043558744436894659527529115596143880430812769042151371665223274626768992620519271114448789609595,30,\n,linenumber)
因此, 可以用此方法, 继续计算后续100000项.
printRecursiveSeries(a_n+a_n^2/(99970+n)^2,a_n,0.8446043558744436894659527529115596143880430812769042151371665223274626768992620519271114448789609595,100030,\n,linenumber)
注意下面中括号[]中的标号应加上100000-30. 即以下是 $a_n$, $n=199971,199972,\ldots,200000$.
[100001] 0.8446079242509539405461619083463795094358531699509570468245020580552257195320720311006408400247924326
[100002] 0.8446079242687931771924069976737715588074599555461141549843687738024884624636179626375764745710872883
[100003] 0.8446079242866322354225068710988714630947478410349528523387871739319749303460884232972381699137500634
[100004] 0.8446079243044711152391381141440273412071825761414325570848490078050065514875420795529844289977604202
[100005] 0.8446079243223098166449772587932768283087098527394001003159278343018081642463271171540654288867090578
[100006] 0.8446079243401483396427007834936856919071939658878212940997956029429937364233407880690174101366209344
[100007] 0.8446079243579866842349851131566864077808242487772460149168675231933531707298388266527035253678227465
[100008] 0.8446079243758248504245066191594166957428951399373610736388803707723255375124570006282171528949604908
[100009] 0.8446079243936628382139416193460580152463656848153428437303376859756321790688724362050677094235609300
[100010] 0.8446079244115006476059663780291740208296042175971103750046914389575667853108683688289070794708289926
[100011] 0.8446079244293382786032571059910489774047239129084994044999107474801257626717454851127609173277498976
[100012] 0.8446079244471757312084899604850261353899148408008281622962128761647959475947035456263648041491889700
[100013] 0.8446079244650130054243410452368460656871781021953070318316600129265223253150806565175193222439723449
[100014] 0.8446079244828501012534864104459849545068675657332558349353780282405560968705398343221461485601501059
[100015] 0.8446079245006870186986020527869928580404446707541346448566118087967985750546606568912799411584035191
[100016] 0.8446079245185237577623639154108319169828517049009664594909370462767800059088998235043132815108332299
[100017] 0.8446079245363603184474478879462145309059089086328326652699013589019107984864887988193649844513004429
[100018] 0.8446079245541967007565298065009414924841407027067548632713282920180142728347596601772409430464011413
[100019] 0.8446079245720329046922854536632400815744362784764391865156047902120078417506170289295855293881195604
[100020] 0.8446079245898689302573905585031021191509497346430515846365631876105966960976372572124075668238331915
[100021] 0.8446079246077047774545207965736219810966448878834145626590975622761413143017860141932700272687510744
[100022] 0.8446079246255404462863517899123345718528898285737674079914138715687328130469518939670393220168674076
[100023] 0.8446079246433759367555591070425532579285062366225128974667531264890930500391690198697648594079298685
[100024] 0.8446079246612112488648182629747077612696784162231837178734531273470843165333247163942999672675289130
[100025] 0.8446079246790463826168047192076820124921269521392012324261893606889959964456506896938118413697687006
[100026] 0.8446079246968813380141938837301519639769518339348676555949777580359037834929007622117518964410591745
[100027] 0.8446079247147161150596611110219233628315498383724300331688047527519804056714591168517739428502505186
[100028] 0.8446079247325507137558817020552694837170109040029805369413020394089683821292807681695693795773174503
[100029] 0.8446079247503851341055309042962688215433981757894123475273878051905133973618885502215481088842058303
[100030] 0.8446079247682193761112839117061427440343163414126336881198902804798809481300537415089323122131010261