找一个多项式 $P(x)$, 使得当 $k$ 为任意正整数时均有 $P(k+1)-P(k)=k^2$. 利用它求 $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2$.
尝试:
\[
(k+\frac{1}{2})^3-(k-\frac{1}{2})^3=\bigl[k^3+3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\bigr]-\bigl[k^3-3k^2\cdot\frac{1}{2}+3k\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\bigr]=3k^2+\frac{1}{4}.
\]
注: 猜不一定能猜出来, 还是用待定系数法吧.
题目来自[1] 习题1.1, P.3
[1] 梅加强 编著 《数学分析》第二版
1
设
\[P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\]
(其实常数项 $d$ 可不妨设为 $0$), 则
\[P(k+1)=a(k+1)^3+b(k+1)^2+c(k+1)+d.\]
于是
\[
\begin{split}
P(k+1)-P(k)&=a\bigl[(k+1)^3-k^3\bigr]+b\bigl[(k+1)^2-k^2\bigr]+c\bigl[(k+1)-k\bigr]\\
&=a(3k^2+3k+1)+b(2k+1)+c\\
&=3ak^2+(3a+2b)k+(a+b+c),
\end{split}
\]
令此多项式等于 $k^2$, 得
\[
\begin{cases}
3a&=1,\\
3a+2b&=0,\\
a+b+c&=0.
\end{cases}
\]
解得 $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-\dfrac{1}{2}$, $c=\dfrac{1}{6}$. 因此, 所求多项式为
\[
P(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}x(x-1)(2x-1).
\]
因此,
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^{n}k^2&=\sum_{k=1}^{n}\bigl[P(k+1)-P(k)\bigr]\\
&=[P(2)-P(1)]+[P(3)-P(2)]+[P(4)-P(3)]+\cdots+[P(n+1)-P(n)]\\
&=P(n+1)-P(1)\\
&=\frac{1}{6}(n+1)n(2n+1)-\frac{1}{6}1(1-1)(2\cdot 1-1)\\
&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
\end{split}
\]