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问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

Posted by haifeng on 2020-11-29 06:56:38 last update 2020-11-29 06:56:38 | Edit | Answers (1)

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导. 过 $A=(0,f(0))$ 与 $B=(1,f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C=(c,f(c))$, 其中 $c\in(0,1)$. 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f''(\xi)=0$.

 

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Posted by haifeng on 2020-11-29 07:12:42

直线 $AB$ 的方程为

\[
y-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}(x-0),
\]

即 $y=(f(1)-f(0))x+f(0)$. 记 $k=f(1)-f(0)$, 此为该直线的斜率.

由题设 $(c,f(c))$ 满足联立方程组

\[
\begin{cases}
y=(f(1)-f(0))x+f(0),\\
y=f(x)
\end{cases}
\]

于是

\[
f(c)=(f(1)-f(0))x+f(0)\quad\Rightarrow\quad f(c)-f(0)=(f(1)-f(0))c
\]

由于 $c\in(0,1)$, 上式推出

\[
\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=k.
\]

另一方面, 

\[
f(1)-f(c)=f(1)-(f(1)-f(0))c-f(0)=(f(1)-f(0))(1-c)
\]

推出

\[
\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=k.
\]

注: 以上可直接由 $A,B,C$ 共线推出.


对于函数 $f(x)$, 在区间 $[0,c]$ 和 $[c,1]$ 上, 都满足 Lagrange 中值定理, 从而分别存在 $\xi_1\in(0,c)$ 和 $\xi_2\in(c,1)$, 使得

\[
\begin{aligned}
f'(\xi_1)&=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=k\\
f'(\xi_2)&=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=k\\
\end{aligned}
\]

故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$. 

因为 $f(x)$ 二阶可导, 故导函数 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上连续, 在 $(\xi_1,\xi_2)$ 上可导, 又在端点处相等, 故应用 Rolle 中值定理, 知存在 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)$, 使得 $f''(\xi)=0$.