设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足
\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]
证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.
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根据条件, 我们有
\[
\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}\leqslant\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}
\]
这推出
\[
a_{n+1}\leqslant a_1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2} < a_1+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=a_1+\frac{\pi^2}{6}
\]
其中最后一个等号参见问题20
因此数列 $\{a_n\}$ 有上界, 而该数列是由非负实数组成, 因此存在子列收敛.
容易证明, 极限点唯一.
假设存在某个子列 $\{a_{n_{i_k}}\}$ 收敛于 $A$ (当 $k\rightarrow+\infty$ 时), 且存在另一个子列 $\{a_{n_{j_k}}\}$ 收敛于 $B$(当 $k\rightarrow+\infty$ 时). 这里 $0\leqslant A,B\leqslant a_1+\frac{\pi^2}{6}$, 且 $A\neq B$. 不妨设 $A < B$.
于是, 若存在 $N$, $a_N\in U(B,\delta)$, 而 $a_{N+1}\in U(A,\delta)$, 则对任意的 $n\geqslant N$, 有 $a_n\not\in U(B,\delta)$. 从而 $B$ 不是极限点. 矛盾.
因此, 极限点是唯一的. 也就证明了数列 $\{a_n\}$ 收敛.