证明: $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ 作为 $p$-级数, 此时 $p=2$ 当然收敛. 或者根据Cauchy 准则也可以证明其收敛.
事实上 当 $n>1$ 时,
\[
\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n},
\]
于是
\[
0<\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=n+1}^{n+p}\Bigl(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\Bigr)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}\rightarrow 0,\quad(n\rightarrow\infty)
\]
根据 Cauchy 准则, 原级数收敛. (事实上其和为 $\frac{\pi^2}{6}$)
具体证明参见 slide: $\zeta(2)$ 探讨
可以证明更一般的情形
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+a)^2}=\lim_{b\rightarrow a}\int_0^1\frac{t^b-t^a}{b-a}\cdot\frac{-1}{1-t}dt
\]
从而令 $a=0$ 得所要证的结论.
另外, 有
\[\frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}.\]
见 问题740.
References
梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011