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分析 >> 数学分析 >> 级数
Questions in category: 级数 (Infinite Series).

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1

设 $a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$, 求最小的正实数 $\lambda$, 使得对所有 $n\geqslant 2$, 都有 $a_n^2 < \lambda\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k}$.

Posted by haifeng on 2017-06-26 22:53:39 last update 2017-07-11 00:16:35 | Answers (0) | 收藏

设 $a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$, 求最小的正实数 $\lambda$, 使得对所有 $n\geqslant 2$, 都有

\[
a_n^2 < \lambda\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{k}.
\]

2

将下列函数展开成关于 $x$ 的幂级数, 并求展开式成立的区间.

Posted by haifeng on 2015-08-24 23:05:47 last update 2015-08-24 23:05:47 | Answers (1) | 收藏

(1) $\frac{1}{1+x^2}$.

(2) $\frac{1}{x^2-5x+6}$.

3

将下列函数在指定点处展开成幂级数

Posted by haifeng on 2015-08-24 22:56:47 last update 2015-08-24 22:56:47 | Answers (2) | 收藏

(1) $f(x)=\frac{3}{x^2+x-2}$ 在 $x=2$ 处.

(2) 将函数 $f(x)=\arctan\frac{1-2x}{1+2x}$ 展开成为关于 $x$ 的幂级数, 并求 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ 的和.

4

求下列幂级数的收敛域

Posted by haifeng on 2015-08-24 18:38:22 last update 2015-08-24 18:53:40 | Answers (3) | 收藏

(1)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{n\cdot 2^n}=\frac{x+2}{2}+\frac{(x+2)^2}{2\cdot 2^2}+\frac{(x+2)^3}{3\cdot 2^3}+\frac{(x+2)^4}{4\cdot 2^4}+\cdots
\]

 

(2)

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n!}
\]

 

(3)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n+\cdots
\]

 

5

设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛, $d_n:=a_n-a_{n+1}$ 严格单调递减. 证明

Posted by haifeng on 2015-02-04 14:23:17 last update 2015-02-04 14:28:13 | Answers (1) | 收藏

设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛, $d_n:=a_n-a_{n+1}$ 严格单调递减.

证明: 存在某个正数 $N>0$, 当 $n>N$ 时, 有

\[
a_n^2 < (a_n-a_{n+1})\sum_{k=n}^{\infty}(a_{k}+a_{k+1}).
\]

6

求 $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}$.

Posted by haifeng on 2013-12-30 08:52:34 last update 2013-12-30 08:54:04 | Answers (0) | 收藏

即求极限

\[\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}\]

 

7

将 $(e^z-1)^3$ 展开成幂级数

Posted by haifeng on 2013-07-27 09:42:46 last update 2013-07-27 14:56:00 | Answers (2) | 收藏

证明

\[
\begin{split}
(e^z-1)^3&=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}(3^n-3\cdot 2^n+3)z^n\\
&\equiv 2\Bigl(\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\cdots\Bigr)\quad (\text{mod}\ 4)
\end{split}
\]


对于大于等于 $3$ 的素数 $p$, 证明

\[
\begin{split}
(e^z-1)^{p-1}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\biggl[(p-1)^n-\binom{p-1}{1}(p-2)^n+\binom{p-1}{2}(p-3)^n-\cdots-\binom{p-1}{p-2}\biggr]z^n\\
&\equiv -\biggl(\frac{z^{p-1}}{(p-1)!}+\frac{z^{2(p-1)}}{(2p-2)!}+\frac{z^{3(p-1)}}{(3p-3)!}+\cdots\biggr)\quad (\text{mod}\ p)
\end{split}
\]


对于大于 4 的合数 $m$, 有

\[
(e^z-1)^{m-1}\equiv 0\quad(\text{mod}\ m).
\]

8

[Jakob Bernoulli]

Posted by haifeng on 2013-07-25 10:01:17 last update 2013-07-25 10:01:17 | Answers (0) | 收藏

Jakob Bernoulli 证明了

\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{2^k}=6,\quad\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^3}{2^k}=26.
\]


James A. Sellers, The infinite series of Euler and the Bernoulli\'s spice up a calculus class

9

计算下面的级数

Posted by haifeng on 2013-06-02 09:43:09 last update 2013-06-02 09:45:54 | Answers (2) | 收藏

\[
\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i^2}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i^N}{4^i}
\]


题目来源:

Mark Allen Weiss, 数据结构与算法分析 C++ 描述.(第三版),张怀勇等译. (习题 1.8)

10

证明: $\frac{\pi}{4}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}$.

Posted by haifeng on 2012-07-02 17:53:08 last update 2012-07-02 17:53:08 | Answers (0) | 收藏

提示: 考虑函数

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 < x < \pi,\\
0, & x=0,\pm\pi,\\
-\frac{1}{2}, & -\pi < x < 0.\\
\end{cases}
\]

求 $f(x)$ 的 Fourier 展开, 得

\[
f(x)\sim\frac{2}{\pi}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1},
\]

然后取 $x=1$ 即得结论.

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