问题及解答

判断下列级数的敛散性.

(1)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$

(2)    $\sum\limits_{k=2}^{\infty}\biggl(\dfrac{1}{\sqrt{2k}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}}\biggr)$

考虑级数

\[
\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n+1}+(-1)^n},\tag{*}
\]

其前 $2N$ 项和为

\[
S_{2N}=\sum_{n=1}^{N}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2n}-1}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}+1}\biggr) > \sum_{n=1}^{N}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2n}-1}-\frac{1}{\sqrt{2n}+1}\biggr)=\sum_{n=1}^{N}\frac{2}{2n-1},
\]

\[
S_{2N+1}=S_{2N}+\frac{(-1)^{2N}}{\sqrt{2N+2}-1},
\]

因此当 $N\rightarrow\infty$ 时, $S_{2N}$ 和 $S_{2N+1}$ 均趋于无穷大. 故级数 (*) 发散. 因此原级数也发散.