(1)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(x+2)^n}{n\cdot 2^n}=\frac{x+2}{2}+\frac{(x+2)^2}{2\cdot 2^2}+\frac{(x+2)^3}{3\cdot 2^3}+\frac{(x+2)^4}{4\cdot 2^4}+\cdots
\]

(2)

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n!}
\]

(3)

\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n+\cdots
\]

设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛, $d_n:=a_n-a_{n+1}$ 严格单调递减.

证明: 存在某个正数 $N>0$, 当 $n>N$ 时, 有

\[
a_n^2 < (a_n-a_{n+1})\sum_{k=n}^{\infty}(a_{k}+a_{k+1}).
\]

即求极限

\[\lim_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots(k+n)}\]

证明

\[
\begin{split}
(e^z-1)^3&=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}(3^n-3\cdot 2^n+3)z^n\\
&\equiv 2\Bigl(\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\frac{z^7}{7!}+\cdots\Bigr)\quad (\text{mod}\ 4)
\end{split}
\]

对于大于等于 $3$ 的素数 $p$, 证明

\[
\begin{split}
(e^z-1)^{p-1}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\biggl[(p-1)^n-\binom{p-1}{1}(p-2)^n+\binom{p-1}{2}(p-3)^n-\cdots-\binom{p-1}{p-2}\biggr]z^n\\
&\equiv -\biggl(\frac{z^{p-1}}{(p-1)!}+\frac{z^{2(p-1)}}{(2p-2)!}+\frac{z^{3(p-1)}}{(3p-3)!}+\cdots\biggr)\quad (\text{mod}\ p)
\end{split}
\]

对于大于 4 的合数 $m$, 有

\[
(e^z-1)^{m-1}\equiv 0\quad(\text{mod}\ m).
\]

Jakob Bernoulli 证明了

\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{2^k}=6,\quad\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^3}{2^k}=26.
\]

James A. Sellers, The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class

\[
\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i^2}{4^i},\qquad\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i^N}{4^i}
\]

题目来源:

Mark Allen Weiss, 数据结构与算法分析 C++ 描述.(第三版)，张怀勇等译. (习题 1.8)

提示: 考虑函数

\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 < x < \pi,\\
0, & x=0,\pm\pi,\\
-\frac{1}{2}, & -\pi < x < 0.\\
\end{cases}
\]

求 $f(x)$ 的 Fourier 展开, 得

\[
f(x)\sim\frac{2}{\pi}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1},
\]

然后取 $x=1$ 即得结论.

提示: 令 $f(x)=x^2$, $-\pi\leqslant x\leqslant\pi$, 求它的 Fourier 展开式,

\[
x^2\sim\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\cos nx}{n^2},
\]

然后令 $x=0$ 即可.

形式上类似的一个级数是

\[\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\]

见 问题20.

设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n+1}-a_n|$ 收敛, 则数列 $\{a_n\}$ 收敛.

[Hint] 利用 Cauchy 准则.

回忆:

数列极限的Cauchy准则是:

$\{a_n\}$ 收敛当且仅当 $\forall\ \epsilon > 0$, $\exists\ N > 0$, 当 $n > N$ 时, 对任意的 $p>0$, 有

\[
|a_{n+p}-a_n| < \epsilon
\]

或者写为对于任意的 $m,n > N$, 有 $|a_m-a_n| < \epsilon$.

注意数列极限的 Cauchy 准则可以推出级数收敛的 Cauchy 准则:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛当且仅当

$\forall\ \epsilon > 0$,  $\exists\ N > 0$, 当 $n > N$ 时, 对任意的 $p>0$, 有

\[
|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}| < \epsilon
\]

References

梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社, 2011. (习题 8.1, P.277.  第4题  )

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011.