将函数 $f(x)=\ln(2+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数.

将 $\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的级数.

\[
\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots,
\]

即

\[
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},
\]

收敛域为 $(-1,1]$.

判断级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}\]

的敛散性.

Remark:

这个级数被称为弗林特 希尔斯级数 (Flint Hills series).  目前尚未确定其敛散性.

问题来自多塔数学网.

$(1+x)^{\alpha}$ 的 Taylor 展开式.  指将其展开成 $x$ 的幂级数.

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$.  如果记

\[\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots\bigl(\alpha-(n-1)\bigr)}{n!},\]

则可以简记为

\[
(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n.
\]

特别的, 令 $\alpha=\frac{1}{2}$, 则得到 $\sqrt{1+x}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot 4}x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}x^3-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}x^4+\cdots
\]

这里 $x\in[-1,1]$.  如果约定 $(-1)!!=0!!=1$, 则可以写为

\[
\sqrt{1+x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cdot\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n
\]

证明:  上面的级数在 $x=\pm 1$ 时收敛.

[Hint]  $x=1$ 时, 级数为交错级数, 使用 Leibniz 判别法;  $x=-1$ 时, 使用 Raabe 判别法.

当 $\alpha=-\frac{1}{2}$ 时, 得到 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 的 Taylor 展开式.

\[
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{1+x}}&=1-\frac{1}{2}x+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3\\
&\qquad+\cdots+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots\bigl(-\frac{1}{2}-(n-1)\bigr)}{n!}x^n+\cdots\\
&=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2!\cdot 2^2}x^2-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3!\cdot 2^3}x^3+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!\cdot 2^n}x^n+\cdots\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n
\end{split}
\]

证明此级数在 $x=1$ 处收敛, 在 $x=-1$ 处发散.

判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^n\sin^n(\frac{2}{n})$ 的敛散性.

1996年, Baily, Borwein 和 Plouffe 发现了下面的公式:

\[
\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\biggl(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\biggr)\frac{1}{16^k}
\]

他们利用这个公式证明了, 在二进制下可以直接计算 $\pi$ 的第 $n$ 位小数而无需知道其前 $n-1$ 位小数的值.

S0025-5718-97-00856-9.pdf (ams.org)

贝拉(Bellard)在1997年获得了贝拉公式

\[
\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{10n}}\biggl(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\biggr)
\]

Remark:

摘自 梅加强 编著《数学分析》P.342.

References:

https://baike.baidu.com/item/贝拉公式

级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin n}{n}$ 是否收敛?

一般的, 对于交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$, 若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=0$ 但 $u_n$ 并非递减, 能否举出收敛与不收敛的具体例子? 

P. 310    习题 7.3

1.  求下列幂级数的收敛域.

(3)    $x+\dfrac{4}{2!}x^2+\dfrac{9}{3!}x^3+\dfrac{16}{4!}x^4+\cdots$

(7)    $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-4)^n}{n+1}x^{2n+1}$

3.  利用幂级数的性质求下列幂级数的和函数.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}$

P. 299--300   习题 7.2

1.  判别下列级数的收敛性.

(5)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^2}$

3.  判别下列级数的收敛性.

(3)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n\cdot n!}{n^n}$

4.  判别下列级数的收敛性.

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{[\ln(n+1)]^n}$

6.  判定下列级数是否收敛? 如果收敛, 是条件收敛还是绝对收敛?

(4)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{\sqrt{n^3}}$

设 $|a_n|\leqslant b_n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 也收敛.

参考自 [1] P. 278, Ex 11.

References:

[1] 梅加强  编著 《数学分析》 高等教育出版社.