问题及解答

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛, 而且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1$, 则能否判断级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 也收敛? 如若不能, 请举出反例.

答: 不能.

反例如下:

设  $u_n=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ 是交错级数, 由 Leibniz 判别法, 知其收敛.

令

\[
v_n=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n},
\]

则

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{v_n}{u_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{\frac{1}{n}}{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}})=1.
\]

但 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散.