问题及解答

判断下列级数的敛散性.

(1)    $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n-\ln n}$

Pf.  令 $a_n=\dfrac{1}{n-\ln n}$, 易见 $a_n > 0$. 故原级数为交错级数.  我们证明 $\{a_n\}$ 递减趋于零, 从而根据 Leibniz 判别法知原级数收敛.

Claim.  $a_n > 0$.

Pf.  令 $\varphi(x)=x-\ln x$, $x\in(0,+\infty)$. 则 $\varphi'(x)=1-\dfrac{1}{x}$. 当 $x>1$ 时, $\varphi'(x) > 0$; 当 $x<1$ 时, $\varphi'(x) < 0$; 当 $x=1$ 时, $\varphi'(x) = 0$; 于是 $\varphi(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值. 最小值为 $\varphi_{\min}=\varphi(1)=1-\ln 1=1$, 因此 $\varphi(x) > 0$.

(法二)

\[
n-\ln n > 0\quad\Leftrightarrow\quad n > \ln n\quad\Leftrightarrow\quad e^n > n
\]

而 $e^n > n$ 成立, 因为

\[
e^n > 2^n =(1+1)^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i 1^{n-i} 1^i > n+1 > n. 
\]

Claim.  $a_{n+1} < a_n$.

Pf.

\[
\begin{split}
a_{n+1} < a_n \quad&\Leftrightarrow\quad \frac{1}{(n+1)-\ln(n+1)}\leqslant\frac{1}{n-\ln n}\\
&\Leftrightarrow\quad n-\ln n\leqslant (n+1)-\ln(n+1)\\
&\Leftrightarrow\quad\ln(n+1)-\ln n\leqslant 1\\
&\Leftrightarrow\quad\ln\frac{n+1}{n}\leqslant 1\\
&\Leftrightarrow\quad 1+\frac{1}{n}\leqslant e.
\end{split}
\]

而 $1+\frac{1}{n}\leqslant 1+\frac{1}{1}=2 < e$ 成立, 故 $\{a_n\}$ 是严格单调递减数列.

Claim.  $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$.

Pf. 

\[
\frac{1}{n-\ln n}=\frac{1}{\ln e^n -\ln n}=\frac{1}{\ln\frac{e^n}{n}},
\]

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{e^n}{n}=+\infty$, $\ln x$ 是严格单调递增函数, 故

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n-\ln n}=0.
\]