问题及解答

证明:

\[
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots
\]

并导出 Machin 公式

References:

梅加强, 《数学分析》Section 9.4, P. 341

\[
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}
\]

注意到, 对于 $x\in(-1,1)$, 有

\[
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots
\]

因此

\[
\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+(x^2)^4-(x^2)^5+(x^2)^6-\cdots+(-1)^n (x^2)^n+\cdots
\]

这里 $x\in(-1,1)$. 即

\[
\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
\]

于是在 $(-1,1)$ 上, 使用逐项求积分, 即可得到 $\arctan x$ 的级数表达式.

不妨记 $y=\arctan x$, 则

\[
y'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}
\]

两边求不定积分(使用定积分求也是可以的)

\[
\begin{split}
y(x)&=\arctan x=\int\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}dx\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int x^{2n}dx\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C
\end{split}
\]

易见 $C=0$, 因为 $y(0)=\arctan 0=0$. 因此

\[
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots
\]