设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足 $a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.
设 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 是一个非负数列, 满足
\[
a_{n+1}\leqslant a_n+\frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3,\ldots
\]
证明 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛.