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问题及解答

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.

Posted by haifeng on 2017-12-19 07:45:32 last update 2017-12-19 07:45:32 | Edit | Answers (1)

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)=f(b)$. 证明: 一定存在长度为 $\frac{b-a}{2}$ 的区间 $[\lambda,\mu]\subset[a,b]$, 使得 $f(\lambda)=f(\mu)$.
 

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Posted by haifeng on 2017-12-19 08:27:00

令 $t\in[a,\frac{a+b}{2}]$. 考虑 $t$ 和 $t+\frac{b-a}{2}$ 两点. 令

\[
g(t)=f(t+\frac{b-a}{2})-f(t),
\]

则 $g(t)$ 是 $[a,\frac{a+b}{2}]$ 上的连续函数. 由于

\[
\begin{aligned}
g(a)&=f(a+\frac{b-a}{2})-f(a)=f(\frac{a+b}{2})-f(a),\\
g(\frac{a+b}{2})&=f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2})-f(\frac{a+b}{2})=f(b)-f(\frac{a+b}{2}),\\
\end{aligned}
\]

由条件 $f(a)=f(b)$, 故 $g(a)\cdot g(\frac{a+b}{2})\leqslant 0$.

因此, 必存在 $\lambda\in[a,\frac{a+b}{2}]$, 使得 $g(\lambda)=0$. 若记 $\mu=\lambda+\frac{b-a}{2}$此即 $f(\lambda)=f(\mu)$.