问题及解答

证明函数

\[
f(x)=\begin{cases}
x^2, & x \text{为无理数},\\
0, & x \text{为有理数},\\
\end{cases}
\]

仅在 $x=0$ 处有导数.
 

(1) 设 $x_0\neq 0$, 则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续. 否则应满足

\[
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
\]

事实上, 若 $0\neq x_0\in\mathbb{Q}$, 则 $f(x_0)=0$. 存在趋近于 $x_0$ 的无理数列 $\{x_k\}$, $x_k\rightarrow x_0$, 使得

\[
f(x_k)=x_k^2\rightarrow x_0^2 >0
\]

$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f(x_k)\neq f(x_0)=0$. 因此, $f(x)$ 在 $x_0(\neq 0)$ 处不连续, 当然不可导.

(2) 设 $x_0=0$, 要证 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0$. 即 $\forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得当 $|x-0| < \delta$ 时,

\[
|f(x)-0| < \varepsilon.
\]

根据 $f(x)$ 的定义 $|f(x)-0|\leqslant|x^2-0|=x^2$, 要使得 $x^2 < \varepsilon$ (等价于 $|x| < \sqrt{\varepsilon}$), 只要取 $\delta=\sqrt{\varepsilon}$ 即可.

$f(x)$ 在 $x=0$ 处显然是可导的, 且导数为 0. 事实上,

\[
\biggl|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\biggr|=\frac{|f(x)|}{|x|}\leqslant\frac{x^2}{|x|}=|x|
\]

因此, 由夹逼定理,

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0.
\]