问题及解答

证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

请求出此方程的所有根.

记 $f(x)=x^3-3x^2+1$, 则 $f(x)\in C[0,1]$.

$f(0)=1$, $f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1=-1 < 0$. 故 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少存在一个根.