设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上定义的函数. 如果 $f^2(x)$ 可积, 则 $|f(x)|$ 也可积.

如果 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 在 $[a,b]$ 上均可积.

计算定积分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x)\cos 2m x\mathrm{d}x.\]

求定积分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^5\theta\cdot\cos^4\theta\mathrm{d}\theta.\]

计算定积分 $\displaystyle\int_0^1\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}\mathrm{d}t$.

设 $F(x)=\begin{cases}\frac{\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{x}, & x\neq 0,\\ 0, & x=0.\end{cases}$ 其中 $f\in C(\mathbb{R})$, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$. 

证明: $F'(x)$ 在 $x=0$ 处连续.

设 $f(x)$ 为连续函数, 且 $f(x)=x+\displaystyle\int_0^2 f(x)\mathrm{d}x$, 求 $f(x)$.

设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 证明

\[
\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x\ .
\]

利用这个等式计算积分 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$.

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 与 $f(x)$ 只在有限个点处不同, 则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积, 且

\[
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^b g(x)\mathrm{d}x .
\]

设

\[S_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}},\]

求 $[S_{2024}]$.