问题及解答

1.    $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x$.

根据问题1448, 不定积分 $I_n=\displaystyle\int\frac{1}{(1+x^2)^n}\mathrm{d}x$ 有如下递推公式:

\[
I_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}I_1+\frac{1}{2n}\frac{x}{1+x^2}.
\]

于是

\[
I_2=\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}.
\]

因此,

\[
\begin{split}
\int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\biggr|_{0}^{1}\\
&=\frac{1}{2}\arctan x\biggr|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+1^2}\\
&=\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\\
&=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}
\end{split}
\]