求定积分 $\displaystyle\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$.

[Hint] 令 $t=\dfrac{1-x}{1+x}$ 或 $x=\dfrac{1-t}{1+t}$.  (by 梅加强老师)

[Hint] 如果用逐项求导的办法, 则可以考虑

\[
I(\alpha)=\int_0^1\frac{\ln(1+\alpha x)}{1+x^2}\mathrm{d}x,
\]

计算 $I'(\alpha)$.   (by 李军) 

Remark: 据说这种方法源自物理学家费因曼. (2021-07-17)

Remark:

\[
\int_0^1\dfrac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta\mathrm{d}\theta.
\]

若令 $I_n=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\tan^n\theta\mathrm{d}\theta$, 则有递推关系 $I_n=\dfrac{1}{n-1}-I_{n-2}$, ($n\geqslant 2$).  参加问题2679.

求 $I_n=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^n\theta\mathrm{d}\theta$.

特别的, 

\[
I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan\theta\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}\ln 2,
\]

\[
I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^2\theta\mathrm{d}\theta=1-\frac{\pi}{4}.
\]

当 $n\geqslant 2$ 时, 有递推公式

\[
I_n=\frac{1}{n-1}-I_{n-2}.
\]

\[
I_{2n}=(-1)^n\biggl[\frac{\pi}{4}-(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1})\biggr]
\]

这里 $I_{2n}$ 参见 [1]

对于 $\tan^n x$ 的不定积分, 也有类似的递推公式. 

若记 $J_n=\int\tan^n x\mathrm{d}x$, ($n\geqslant 2$, 且 $n$ 是整数.) 则有

\[
J_n=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-J_{n-2} .
\]

References:

[1] 吉米多维奇, 问题2283

P. 264--266    习题 6.2

7. 求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形, 绕指定的轴旋转所构成的旋转体的体积:

(4)  $y=x^2+7$ 及 $y=3x^2+5$, 绕 $x$ 轴.

9.  求由抛物线 $y^2=2x$ 与直线 $x=\frac{1}{2}$ 所围成的图形绕直线 $y=-1$ 旋转所得旋转体的体积.

14. 求下列曲线在指定范围内的一段弧的长度.

(6)    $\displaystyle y=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\sqrt{\cos x}\mathrm{d}x$,  $-\frac{\pi}{2}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$.

P. 240,  习题 5.4

1.  讨论下列反常积分的敛散性, 如果收敛, 求反常积分的值:

(2)    $\displaystyle\int_{e}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x\ln^2 x}$

2.  讨论下列无界函数的反常积分的敛散性, 如果收敛, 求反常积分的值:

(7)    $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln x}{(1-x)^2}\mathrm{d}x$

P. 230  习题 5.3

1.  求下列定积分

(9)   

\[
\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}\frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x
\]

3.  用分部积分法求下列定积分.

(7)

\[
\int_{0}^{\sqrt{3}}\ln(x+\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x
\]

6.  证明下列各等式.

(3)  设 $a > 0$, $f(x)$ 在 $[0,a]\cup[0,a^2]$ 上可积, 则有

\[
\int_{0}^{a}x^3 f(x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{a^2}xf(x)\mathrm{d}x.
\]

P. 212  习题 5.1

11.  证明下列不等式

(1) 

\[
\frac{\pi}{2}\leqslant\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\pi.
\]

13.  设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且满足

\[3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0),\] 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f'(\xi)=0$.

计算 $\int_0^{\infty}\cos x^2 \mathrm{d}x$ 及 $\int_0^{\infty}\sin x^2 \mathrm{d}x$.

[Hint]

复分析的办法是, 将实变量 $x$ 改为 复变量 $z$. 由所给实函数 $\cos x^2$ 及 $\sin x^2$ 考虑到使用复变函数 $f(z)=\cos z^2+i\sin z^2=e^{iz^2}$.

关键的一步是如何选择复平面中合适的积分区域 $D$.

所求积分区间为 $[0,\infty)$, 且 $0$ 并不是 $f(z)=e^{iz}$ 的极点, 因此 $D$ 的某部分边界应选为 $x$ 轴上的 $[0,R]$.

而且为了积分方便, 通常 $\partial D$ 的部分选择为直线或以原点为中心的圆弧.

Q. 能否不用复分析的办法来计算?

References:

龚昇  《简明复分析》 P.104 例3

试着列举满足 $\frac{\int_x^{\infty}f(t)dt}{f(x)}=1$ 的函数.

例如:

$f(x)=ae^{-(x-b)}$

事实上,

\[
\begin{split}
\int_x^{+\infty}f(t)dt&=\int_x^{+\infty}ae^{-(t-b)}dt\\
&=ae^b\int_x^{+\infty}e^{-t}dt\\
&=ae^b\cdot(-e^{-t})\biggr|_{x}^{+\infty}=ae^b\cdot\Bigl[-e^{-\infty}+e^{-x}\Bigr]\\
&=ae^{b-x}=ae^{-(x-b)}
\end{split}
\]

这个问题实质上是求解常微分方程 $f'(x)+f(x)=0$.

求定积分

\[\int_0^1\bigl[x\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\bigr]\mathrm{d}x.\]

注意: 不用累次积分.

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx
\]

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^4}dx
\]

\[
\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx
\]

证明:

\[
\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^4}dx.
\]

因此, 如果要计算后两者, 只需要计算第一个积分, 然后除以2即可. 当然对于后两者, 也可以直接计算, 只是比较复杂.