P. 212  习题 5.1

11.  证明下列不等式

(1) 

\[
\frac{\pi}{2}\leqslant\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}\mathrm{d}x\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\pi.
\]

13.  设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且满足

\[3\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=f(0),\] 

证明: 在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使得 $f'(\xi)=0$.

计算 $\int_0^{\infty}\cos x^2 \mathrm{d}x$ 及 $\int_0^{\infty}\sin x^2 \mathrm{d}x$.

[Hint]

复分析的办法是, 将实变量 $x$ 改为 复变量 $z$. 由所给实函数 $\cos x^2$ 及 $\sin x^2$ 考虑到使用复变函数 $f(z)=\cos z^2+i\sin z^2=e^{iz^2}$.

关键的一步是如何选择复平面中合适的积分区域 $D$.

所求积分区间为 $[0,\infty)$, 且 $0$ 并不是 $f(z)=e^{iz}$ 的极点, 因此 $D$ 的某部分边界应选为 $x$ 轴上的 $[0,R]$.

而且为了积分方便, 通常 $\partial D$ 的部分选择为直线或以原点为中心的圆弧.

Q. 能否不用复分析的办法来计算?

References:

龚昇  《简明复分析》 P.104 例3

试着列举满足 $\frac{\int_x^{\infty}f(t)dt}{f(x)}=1$ 的函数.

例如:

$f(x)=ae^{-(x-b)}$

事实上,

\[
\begin{split}
\int_x^{+\infty}f(t)dt&=\int_x^{+\infty}ae^{-(t-b)}dt\\
&=ae^b\int_x^{+\infty}e^{-t}dt\\
&=ae^b\cdot(-e^{-t})\biggr|_{x}^{+\infty}=ae^b\cdot\Bigl[-e^{-\infty}+e^{-x}\Bigr]\\
&=ae^{b-x}=ae^{-(x-b)}
\end{split}
\]

这个问题实质上是求解常微分方程 $f'(x)+f(x)=0$.

求定积分

\[\int_0^1\bigl[x\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\bigr]\mathrm{d}x.\]

注意: 不用累次积分.

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx
\]

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^4}dx
\]

\[
\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx
\]

证明:

\[
\int_0^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^4}dx.
\]

因此, 如果要计算后两者, 只需要计算第一个积分, 然后除以2即可. 当然对于后两者, 也可以直接计算, 只是比较复杂.
 

设 $D$ 是由直线 $y=x$, $y=\pi$ 和 $y$ 轴围城的三角形闭区域. 求定积分

\[
\iint_D\cos(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\]
 

求定积分

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}x^4 e^{-\frac{x^2}{2}}dx
\]

一般的, 可以证明

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}
\]

参见《吉米多维奇》第五册, 第3850题.

更一般的,

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n}e^{-px^2}dx=\frac{1}{2}p^{-(n+\frac{1}{2})}\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2(2p)^n}\sqrt{\frac{\pi}{p}},
\]

\[
\int_0^{+\infty}x^m e^{-px^2}dx=\frac{1}{2p^{(m+1)/2}}\Gamma(\frac{m+1}{2})
\]

\[
\int_0^{+\infty}x^{2n+1}e^{-px^2}dx=\frac{1}{2}p^{-(n+1)}\Gamma(n+1)=\frac{n!}{2p^{n+1}}.
\]

以上 $p > 0$, $n=0,1,2,\ldots$

Note:

第一题的最后一个等号使用了下面的公式 (参见问题714)

\[
\frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(n+1)}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.
\]

[Hint] 既然积分最后可以表示为 Gamma 函数, 则积分应该转为 Gamma 函数的定义形式.

Remark:

上面更一般情形的题目由 QQ:1608007082 提供, 非常感谢！

计算概率积分

\[\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]

称其为概率积分的原因是: 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的分布密度函数为

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x\in(-\infty,+\infty),\quad\sigma > 0.
\]

[Hint]

令 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 则 $I=\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2}dy$. 然后计算 $I^2$. 将直角坐标系转换为极坐标系.

Remark: 根据 Gamma 函数的定义, 可以计算得

\[
\begin{split}
\Gamma(\frac{1}{2})&=\int_{0}^{+\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\\
&=\sqrt{\pi}
\end{split}
\]

试建立

\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(nt)}{\sin t}dt\]

的递推公式.

[Hint]

根据 问题1388的解答  ，我们有

\[
\frac{\sin^2(nt)}{\sin t}=\sum_{k=1}^{n}\sin(2k-1)t
\]

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是 $[0,1]$ 区间上的单调递增函数, 满足 $0\leqslant f(x), g(x)\leqslant 1$, 且 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x=\int_0^1 g(x)\mathrm{d}x$, 证明

\[
\int_0^1 |f(x)-g(x)|\mathrm{d}x\leqslant\frac{1}{2}.
\]