设 $I(x)=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{y\sin(xy)}{y-\sin y}dy$, 求 $\int_{0}^{1}I(x)dx$.

计算定积分

\[
\int_0^1 \frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx
\]

\[
\int_1^2 \frac{1}{x(1+x^n)}dx
\]

\[
\int_1^3 \sqrt{(3-x)(x-1)}dx
\]

\[
\int_0^1 (1-x^2)^8 dx
\]

一般的, 证明积分

\[
\int_0^1 (1-x^2)^n dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\]

除了这里利用递推关系求出, 还可以应用积分余项. 请参考梅加强著《数学分析》例5.7.1

验证

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{x(e^x-1)}dx=+\infty
\]

是否正确?

注意这个积分与 zeta 函数相关.

设 $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx$, 证明

\[
\sigma_n(x)=\frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x},\quad\forall\ x\neq 2k\pi.
\]

而当 $x=2k\pi$ 时, $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+n$.

曲线 $y=ax^2\ (0< a \leqslant 1)$ 将以 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ 为顶点的正方形分成上、下两部分. 上半部分绕 $y$ 轴旋转所得体积为 $V_1$, 下半部分绕 $x$ 轴旋转, 所得体积为 $V_2$, 问 $a$ 为何值时, $V=V_1+V_2$ 最小.

计算有双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $y=\pm b$ 所围成区域绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转体的体积.

设 $f(t)$ 是 ${a,b}$ 上的连续单调递增函数, 证明

\[
\int_a^b tf(t)\mathrm{d}t\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(t)\mathrm{d}t.
\]

Rem. 为便于搜索, 改写为下式. 在搜索页, 输入 xf(x) 即能搜到.  (2021-11-28)

\[
\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.
\]