求定积分 $\int_0^{\pi}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x$.

Rem: 题目来源, 在bilibili上看到的这道题目.

解这道定积分，花了我45分钟。你呢？_哔哩哔哩_bilibili

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格单调递增, $f(0)=0$. 证明: 对 $\forall\ x\in[0,1)$, 有

\[e^{1-x}\int_0^x f(t)\mathrm{d}t < \int_0^1 f(x)\mathrm{d}x.\]

若函数 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续且严格单调递增, 问

\[I=\int_0^{2\pi}f(x)\sin x\mathrm{d}x\]

的符号是正还是负?

利用定积分求极限

\[I=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2+k}.\]

求

\[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\csc^4 x\mathrm{d}x\]

[Hint] 将被积函数拆成 $\csc^2 x\cdot\csc^2 x$, $\csc^2 x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\cot x$. 然后用分部积分.

求定积分

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x\ln(\cos x)}{\tan x}\mathrm{d}x.\]

Remark:  题目来源于同事陶文清.

这道题的正确解答参见这里的第三个解答. 涉及多个知识点. 是很好的一道习题. 这个反常积分, 用通常的换元法、分部积分法都不好算. 甚至也暂时想不到是否能用复变函数的方法（即利用留数定理计算实变函数的积分）. 

解答中需要用到无穷级数、常微分方程等.

设 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\mathrm{d}t$ 定义于 $(-1,1)$ 内, 证明: $f(x)+f(-x)=\frac{1}{2}f(x^2)$.

计算定积分

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x\]

[Hint]

利用 $\int_0^a f(x)\mathrm{d}x=\int_0^a f(a-x)\mathrm{d}x$.

设 $\alpha > 0$, $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^{\alpha}e^{\sin x}\mathrm{d}x$, $I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^{\alpha}e^{\cos x}\mathrm{d}x$, 比较 $I_1$ 和 $I_2$ 的大小.

[Hint] 参考问题2331

函数 $f(x)$ 定义为

\[
f(x)=\begin{cases}
c\int_{\max\{0,x-1\}}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]

这里 $c$ 是正常数. 并且 $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$. 

求 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 的值.

Remark:

题目来源于浙江大学某老师布置的题目.