设 $f(x)=2-\int_0^1\frac{x+\sin t}{1+t^2}dt$, $p(x)=ax^2+bx+c$, 求常数 $a,b,c$, 使得

\[p(0)=f(0),\quad p'(0)=f'(0),\quad p''(0)=f''(0).\]

并判断 $f(x)$ 的奇偶性.

Remark:

关于 $\int_0^1\frac{\sin t}{1+t^2}dt$ 可以参见问题1407

设 $0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$,

\[
f(x)=\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt{t}dt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos\sqrt{t}dt,
\]

求 $f(x)$.

设 $f\in C^1[a,b]$, 且 $f(a)=0$, 证明

\[
\int_a^b f^2(x)dx\leqslant\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b[f'(x)]^2dx.
\]

计算

\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\sqrt{1+x^2})\sin^7 xdx.
\]

Hint: 对于积分区间对称的定积分, 首先关注一下被积函数(或者其中一部分)是否是奇函数, 如果是, 就不需要计算了.

设 $f(x)\in C^2$, 且满足

\[\int_0^{\pi}(f(x)+f''(x))\sin xdx=3,\]

求 $f(0)$.

求

\[\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^2-x^4}dx.\]

设 $f(x)=\int_1^x\frac{\ln t}{1+t}dt$, 求 $f(x)+f(\frac{1}{x})$.

设 $u(t)$ 是 $[a,b]$ 上的连续的正函数, 证明下面的不等式

\[
\ln\Biggl|\frac{1}{b-a}\int_a^b u(t)dt\Biggr|\geqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln(u(t))dt.
\]

Hint:

利用 Jensen 不等式

(具体的, 令 $\varphi=\ln$, 只不过这里 $\varphi$ 是凹函数. 且令 $p(x)=1$.)

设 $f(x)\in C^2[a,b]$, $M=\max\limits_{x\in[a,b]}\{f''(x)\}$, 证明

\[
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\biggr|\leqslant\frac{M}{24}(b-a)^3.
\]

求下列曲线所围成图形按指定轴旋转所得旋转体的体积:

1. $y=\sin x$,  $x\in[0,\pi]$  与 $x$ 轴所围图形.

   (1) 绕 $x$ 轴旋转;
   (2) 绕 $y$ 轴旋转;
   (3) 绕直线 $y=1$ 旋转.