问题及解答

设 $f(x)\in C^2[a,b]$, $M=\max\limits_{x\in[a,b]}\{f''(x)\}$, 证明

\[
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\biggr|\leqslant\frac{M}{24}(b-a)^3.
\]

令 $c=\frac{a+b}{2}$, 则

\[
\begin{split}
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\biggr|&=\biggl|\int_a^b(f(x)-f(c))\mathrm{d}x\biggr|\\
&=\biggl|\int_a^b f'(\xi)(x-c)\mathrm{d}x\biggr|\\
&\leqslant\int_a^b |f'(\xi)||x-c|\mathrm{d}x\\
\end{split}
\]

从这个无法得到关于二阶导数的估计. 若记 $|f'(x)|\leqslant M_1$, 则有

\[
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\biggr|\leqslant M_1\int_a^b|x-c|\mathrm{d}x=\frac{1}{2}M_1[(c-a)^2+(b-c)^2]=\frac{M_1}{4}(b-a)^2.
\]

由于 $f\in C^2[a,b]$, 故 $f$ 在 $c=\frac{a+b}{2}$ 处的 Taylor 展示为

\[
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-c)^2,
\]

两边积分, 得

\[
\begin{split}
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x&=f(c)(b-a)+f'(c)\int_a^b(x-c)dx+\frac{1}{2}\int_a^b f''(\xi)(x-c)^2 \mathrm{d}x\\
&=f(c)(b-a)+\frac{1}{2}\int_a^b f''(\xi)(x-c)^2 \mathrm{d}x,\\
\end{split}
\]

因此有

\[
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-f(c)(b-a)\biggr|\leqslant\frac{1}{2}M\int_a^b(x-c)^2\mathrm{d}x=\frac{M}{24}(b-a)^3.
\]

References:

梅加强, 数学分析, $\S$ 6.4 定积分的近似计算.