问题及解答

求下列曲线所围成图形按指定轴旋转所得旋转体的体积:

1. $y=\sin x$,  $x\in[0,\pi]$  与 $x$ 轴所围图形.

   (1) 绕 $x$ 轴旋转;
   (2) 绕 $y$ 轴旋转;
   (3) 绕直线 $y=1$ 旋转.

(1)  即垂直于 $x$ 轴的平面在点 $x\in[0,\pi]$ 所截得的截面面积是 $S(x)$, 则 $S(x)=\pi\sin^2 x$, 从而旋转体的体积为

\[
V=\int_0^{\pi}S(x)dx=\int_0^{\pi}\pi\sin^2 xdx.
\]

(2) 考虑与 $y$ 轴垂直的平面, 在 $y\in[0,1]$ 处与旋转体相截得到的截面是一个圆环, 大圆半径 $R(y)=\pi-\arcsin y$, 小圆半径 $r(y)=\arcsin y$, 从而截面的面积 $S(y)=\pi (R(y)^2-r(y)^2)$, 从而旋转体的体积为

\[
\begin{split}
V&=\int_0^1 S(y)dy=\int_0^1\pi\Bigl[(\pi-\arcsin y)^2-(\arcsin y)^2\Bigr]dy\\
&=\pi\int_0^1(\pi^2-2\pi\arcsin y)dy\\
&=\pi^3-2\pi^2\int_0^1\arcsin ydy\\
&=\pi^3-2\pi^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}td\sin t\\
&=\pi^3-2\pi^2\Bigl[t\sin t\biggr|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin tdt\Bigr]\\
&=\pi^3-2\pi^2(\frac{\pi}{2}-1)\\
&=2\pi^2.
\end{split}
\]

(3) 绕直线 $y=1$ 旋转, 得到的旋转体可以看做大的圆柱体去掉两端对称的空心部分.

我们不妨将此旋转体沿 $y$ 轴向下移动一个单位. 从而旋转轴是 $x$ 轴. 这样旋转体的体积就是

\[
V=\pi\cdot 1^2\cdot\pi-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}S(x)dx,
\]

其中 $S(x)=\pi(1-\sin x)^2$, 因此

\[
V=\pi^2-2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\pi(1-\sin x)^2dx.
\]