求定积分

\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\sqrt{x}}dx\]

求 $\int_0^{\pi}(x\sin x)^2dx$

求定积分

\[\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}dx.\]

求定积分

\[\int_1^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}dx.\]

证明

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+x^2}dx.\]

求积分

\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin nx}{\sin x}dx.
\]

Hint:

当 $n=2k-1$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分等于 $\frac{\pi}{2}$. 这个证明在 问题1388 的证明 中出现过; 即特别的有

\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

当 $n=2k$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分的值与 $\frac{\pi}{2}$ 有关 (事实上当 $k\rightarrow+\infty$ 时, 极限为 $\frac{\pi}{2}$), 证明是类似的.

证明

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

由此利用分部积分可以得到

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

见 问题1387

References:

梅加强 编著 《数学分析》，高等教育出版社. 例 7.4.8.

Remark:

与此题有关的题目: 问题2108

事实上有

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.\]

证明一下.

Hint.

首先证明

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

参见 问题1388 .

或使用 Fubini 定理, 参见问题2686 .

其他相关问题:

证明:

1.

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{n}^{n+p}\frac{\sin x}{x}dx=0,\quad (p>0).
\]

2.

\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x}dx>0.
\]

3.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x}dx=+\infty.
\]

4. 积分

\[\int_{0}^{+\infty}\biggl|\frac{\sin x}{x}\biggr|dx\]

发散.

5.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx
\quad\begin{cases}
\text{条件收敛},\ 0 \text{绝对收敛},\ 1 \text{发散},\ p\geqslant 2.\\
\end{cases}
\]

设 $I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, 求此定积分的值.

证明

\[
\frac{1}{(n+a)(n+b)}=\int_0^{+\infty}e^{-nx}\Bigl(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{b-a}\Bigr)dx,
\]

这里 $n+a > 0$, $n+b > 0$.

Hint, 注意到

\[
\int_0^{+\infty}e^{-(n+a)x}dx=\frac{1}{n+a}
\]