问题及解答

事实上有

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.\]

证明一下.

Hint.

首先证明

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

参见 问题1388 .

或使用 Fubini 定理, 参见问题2686 .

其他相关问题:

证明:

1.

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{n}^{n+p}\frac{\sin x}{x}dx=0,\quad (p>0).
\]

2.

\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x}dx>0.
\]

3.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x}dx=+\infty.
\]

4. 积分

\[\int_{0}^{+\infty}\biggl|\frac{\sin x}{x}\biggr|dx\]

发散.

5.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx
\quad\begin{cases}
\text{条件收敛},\ 0 \text{绝对收敛},\ 1 \text{发散},\ p\geqslant 2.\\
\end{cases}
\]

\[
\begin{split}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx&=-\int_{0}^{+\infty}\sin^2 xd\frac{1}{x}\\
&=-\biggl[\frac{1}{x}\sin^2 x\biggr|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x}d\sin^2 x\biggr]\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x}\cdot 2\sin x\cos xdx\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin 2x}{x}dx\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin 2x}{2x}d(2x)\\
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt,\\
\end{split}
\]

而 问题1388 已经证明

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2},
\]

因此

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

采用复变函数的证法. 具体参见 龚昇《简明复分析》P.103--104  例2.