问题

事实上有

\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.\]

证明一下.

Hint.

首先证明

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

参见 问题1388 .

或使用 Fubini 定理, 参见问题2686 .

其他相关问题:

证明:

1.

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{n}^{n+p}\frac{\sin x}{x}dx=0,\quad (p>0).
\]

2.

\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x}dx>0.
\]

3.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x}dx=+\infty.
\]

4. 积分

\[\int_{0}^{+\infty}\biggl|\frac{\sin x}{x}\biggr|dx\]

发散.

5.

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx
\quad\begin{cases}
\text{条件收敛},\ 0 \text{绝对收敛},\ 1 \text{发散},\ p\geqslant 2.\\
\end{cases}
\]