问题及解答

求定积分

\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\sqrt{x}}dx\]

令 $t=\sqrt{x}$, 则 $x=t^2$, $dx=2tdt$, 于是原积分化为

\[
\begin{split}
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t}\cdot e^{-t}\cdot 2tdt&=2\int_{1}^{+\infty}e^{-t}dt\\
&=2\cdot(-e^{-t})\biggr|_{1}^{+\infty}\\
&=2e^{-1}.
\end{split}
\]